NCERT Solutions For Class 12 Maths Chapter 10 Vector Algebra in Hindi - 2025-26

प्रश्नावली 10.1

1. उतर से ${{30}}^\circ$ पूर्व मे ${{40 km}}$ के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए। 

उत्तर: 

सदिश OP अभीष्ट विस्थापन को निरूपित करता है। 

2. निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप मे श्रेणीबद्ध कीजिए। 

उत्तर: (a) ${{10 kg}}$ - अदिश 

(b) ${{2 m}}$ उतर पश्चिम -  विस्थापन सदिश 

(c) ${{40}}^\circ$ - अदिश 

(d) $40$ वाट -  अदिश 

(e) ${{1}}{{{0}}^{{{ - 19}}}}$ कूलम्ब -  अदिश 

(f) ${{20 m/}}{{{s}}^{{2}}}$ -  सदिश 

3. निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश के रूप मे श्रेणीबद्ध कीजिए। 

उत्तर: (a) समय कालांश – अदिश 

(b) दूरी – अदिश 

(c) बच – सदिश 

(d) वेग – सदिश 

(e) कार्य – अदिश 

4. 

उत्तर: (i) सह – आदिम – d , a 

(ii) समान – d , b 

(iii) संरेख परंतु असमान – a , c 

5. निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप मे दीजिए। 

(i) a तथा -a संरेख है। 

उत्तर: सत्य 

(ii) दो संरेख सदिशों का परिणाम सदैव समान होता है। 

उत्तर: असत्य 

(iii) समान परिणाम वाले दो सदिश संरेख होते है। 

उत्तर: असत्य 

(iv) समान परिणाम वाले दो सदिश समान होते है। 

उत्तर:  असत्य 

प्रश्नावली 10.2 

1. निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:

${{a  =  i + j + k ; b  =  2i - 7j - 3k ; c  =  13i + 13j - 13k}}$

उत्तर: ${{a  =  i + j + k ; b  =  2i - 7j - 3k ; c  =  13i + 13j - 13k}}$

${{|a|  =  }}\sqrt {{{{{(1)}}}^{{2}}}{{ + (1}}{{{)}}^{{2}}}{{ + (1}}{{{)}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{3}}$

${{|b|  =  }}\sqrt {{{{{(2)}}}^{{2}}}{{ + ( - 7}}{{{)}}^{{2}}}{{ + ( - 3}}{{{)}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{4 + 49 + 9}}} {{  =  }}\sqrt {{{62}}}$

${{|c|  =  }}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}} \right)}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {\dfrac{{{1}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{3}}}} {{  =  1}}$ 

2. समान परिमाण वाले दो विभित्र सदिश लिखिए।

उत्तर: मान लीजिए विभिन्न दो सदिश ${{a  =  i + 2j + k, b  =  i + j + 2 k}}$

a का परिणाम = $\left| {{a}} \right|\;{{ = }}\;\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\sqrt {{6}}$

b का परिणाम = $\left| {{b}} \right|\;{{ = }}\;\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\sqrt {{6}}$

इस प्रकार a  और b दो सदिश है जिनके परिणाम समान है। (ऐसे अनंत सदिश हो सकते है)

3. समान दिशा वाले दो विभित्न सदिश लिखिए।

उत्तर: मान लीजिए विभिन्न दो सदिश ${{a}  =  (\hat i + }\widehat {{j}}{{ + }}\widehat {{k}}{{), b  =  (2}}\widehat {{i}}{{ + 2j + 2}}\widehat {{k}}{{)}}$

a के cosine

${{l  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, m  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, n  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}$

a के दिक कोसाइन = $(\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }})$

b  के cosine${{l  =  }}\dfrac{{{2}}}{{\sqrt {{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{2}}}{{{{2}}\sqrt {{3}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, m  =  }}\dfrac{{{2}}}{{\sqrt {{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{2}}}{{{{2}}\sqrt {{3}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, n  =  }}\dfrac{{{2}}}{{\sqrt {{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}} }}{{  =  }}\dfrac{{{2}}}{{{{2}}\sqrt {{3}} }}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}$

b के दिक कोसाइन = $(\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{, }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }})$

इस प्रकार a, b एक ही दिशा मे है। 

4. ${{x, y}}$  के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश ${{2j + 3k}}$ और ${{xi + yj}}$  समान हों।

उत्तर: माना ${{a  =  2j + 3k,  b  =  xi + yj}}$ दिए गए सदिश है। 

a, b  के गुणांकों की तुलना करने पर ${{x  =  2, y  =  3}}$

5. एक सदिश का प्रारंभिक बिंदु ${{(2,1)}}$ है और अंतिम बिंदु ${{( - 5,7)}}$ है। इस सादिश के अदिश एवं सदीश घटक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना सदिश के प्रारम्भिक वे अन्तिम बिन्दु क्रमशः $A(2,1), B(-5,7)$ हें।

$\therefore \overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{i}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \hat{j}$

$=(-5-2) \hat{i}+(7-1) \hat{j}$

$=-7 \hat{i}+6 \hat{j}$

$\therefore$ दिए गए अदिश घटक $-7$ और 6 है; जबकि सदिश घटक $-7 \hat{i}$ और $6 \hat{j}$ हैं।

6. सादिश ${{a  =  i - 2j + k, b  =   - 2i + 4j + 5k, c  =  i - 6j - 7k}}$  का योगफल ज्ञात कीजिए।

उतर: ${{a  =  i - 2j + k, b  =   - 2i + 4j + 5k, c  =  i - 6j - 7k}}$

योगफल ${a + b + c}=(1 - 2 + 1)\hat i + ( - 2 + 4 - 6)\hat j + (1 + 5 - 7)\hat k$

${{ =  0}}\hat i - 4\hat j - 1 \times \hat k$

$= - 4\hat j - \hat k$ 

7. सदिशा ${{a  =  i + j + 2k}}$  के अनुदिश एक मात्रक सादिश ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ${{a  =  i + j + 2k}}$

$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 k$

$\therefore|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$

Unit vector in the direction of vector a

$\hat{\mathrm{a}} =\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{a}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})$

$=\dfrac{1}{\sqrt{6}} \hat{\mathrm{i}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}} \hat{\mathrm{j}}+\dfrac{2}{\sqrt{6}} \hat{\mathrm{k}}$

8. सादिशा ${{PQ}}$  के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु ${{P, Q}}$  क्रमशः ${{(1,2,3), (4,5,6)}}$  है।

उत्तर: बिन्दु ${{P, Q}}$  क्रमशः ${{(1,2,3), (4,5,6)}}$ को मिलाने वाला सदिश 

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(4-1) \hat{\mathrm{i}}+(5-2) \hat{\mathrm{j}}+(6-3) \hat{\mathrm{k}}=3 \mathrm{i}+3 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3}$

मात्रक सदिश $\mathrm{PQ}$ जो $\mathrm{PQ}$ के अनुदिश है।

$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\dfrac{3 \mathrm{i}+3 \hat{\mathrm{j}}+3 \mathrm{k}}{3 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{i}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{j}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{k}$

9. दिए हुए सादिशों ${{a  =  2i - j + 2k, b  =   - i + j - k}}$  के लिए ${{a + b}}$  सदिश ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिए हुए सदिश ${{a  =  2i - j + 2k, b  =   - i + j - k}}$

$a+b=(2-1) \hat{i}+(-1+1) \hat{j}+(2-1) \hat{k}=1 \hat{i}+0 \hat{j}+1 \hat{k}=i+\hat{k}$

$|a+b|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

$\dfrac{(a+b)}{|a+b|}=\dfrac{\hat{i}+\hat{k}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$

10. सदिश ${{5i - j + 2k}}$  के अनुदिशएक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण ${{8}}$ इकाई है।

उत्तर: माना $\mathrm{a}=5 \hat{\mathrm{i}} \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$

a का परिणाम 

$|\vec{a}|=\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{25+1+4}=\sqrt{30}$

a के अनुदिश मात्रक सदिश 

$\mathrm{a}=\dfrac{\mathrm{a}}{|\mathrm{a}|}=\dfrac{5 \hat{\mathrm{i}}- \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}}{\sqrt{30}}$

a के अनुदिश आठ इकाई वाला सदिश 

$8 \mathrm{a}=8\left(\dfrac{5 \hat{\mathrm{i}}- \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}}{\sqrt{30}}\right)=\dfrac{40}{\sqrt{30}} \hat{\mathrm{i}}-\dfrac{8}{\sqrt{30}} \hat{\mathrm{j}}+\dfrac{16}{\sqrt{30}} \hat{\mathrm{k}}$

11. दशर्शाइए की सदिश $2 \mathrm{i}-3 \mathrm{j}+4 \mathrm{k},-4 \mathrm{i}+6 \mathrm{j}-8 \mathrm{k}$ संरेख है।

उत्तर: माना $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}, b=-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}$

$\mathrm{b}=-4 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}-8 \hat{\mathrm{k}}=-2(2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}})-2 \mathrm{a}$

$\therefore \mathrm{b}=\lambda \mathrm{a}$ जहा $\lambda=-2$

अतः $a, b$ संरेख है।

12. सदिश $i+2 j+3 k$ की दिक cosine ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना $a=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

a के cosine $=|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

$a$ के दिक cosine $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}}, \dfrac{2}{\sqrt{14}}, \dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)$

13. बिंदुओं $\mathrm{A}(1,2,-3), \mathrm{B}(-1,-2,1)$ को मिलने वाले एवं $\mathrm{A}$ से $\mathrm{B}$ की तरफ़ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिन्दु $\mathrm{A}(1,2,-3), \mathrm{B}(-1,-2,1)$ को मिलने वाले सदिश

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1-1) \hat{\mathrm{i}}+(-2-2) \hat{\mathrm{j}}+(1-(-3)) \hat{\mathrm{k}}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$ 

$\mathrm{AB}$ की दिक कोसाइन $=\left(-\dfrac{2}{6},-\dfrac{4}{6}, \dfrac{4}{6}\right)=\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$

14. दर्शाइए कि सदिश $\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k}$ अक्षों $ \mathrm{OX}, \mathrm{OY}, \mathrm{OZ}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।

उत्तर: माना $a=i+j+k$

$|\mathrm{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

a की दिक कोसाइन $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

दिक कोसाइन समान होने के कारण सदिश अक्षों $\mathrm{OX}, \mathrm{OY}, \mathrm{OZ}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।

15. बिन्दुओ $\mathrm{P}(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-\mathrm{k}), \mathrm{Q}(-\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})$ को मिलाने वाली रेखा को $2: 1$ के अनुपात में

(i) अते:

उत्तर: बिन्दु $\mathrm{OP}(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-\mathrm{k}), \mathrm{OQ}(-\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})$ को अंत: $\mathrm{m}: \mathrm{n}$ अनुपद मे विभाजित करने वाला बिन्दु $\mathrm{R}$ का स्थित सदिश

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{2(-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+1(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})}{2+1}=\dfrac{(-2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})}{3}$

$=\dfrac{-\hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}}{3}=-\dfrac{1}{3} \hat{\mathrm{i}}+\dfrac{4}{3} \hat{\mathrm{j}}+\dfrac{1}{3} \hat{\mathrm{k}}$

(ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिदुदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिन्दु $\mathrm{OP}(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-\mathrm{k}), \mathrm{OQ}(-\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})$ को बाह्य $\mathrm{m}$ : $\mathrm{n}$ अनुपद मे विभाजित करने वाला बिन्दु $\mathrm{R}$ का स्थित सदिश

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{2(-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}})-1(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})}{2-1}=(-2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})-(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$

$=-3 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

16. दो बिदुओं $\mathrm{P}(2,3,4), \mathrm{Q}(4,1,-2)$ को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिदु ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: बिन्दु  $\mathrm{P}(2,3,4), \mathrm{Q}(4,1,-2)$ को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}})+(4 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}})}{2}=\dfrac{(2+4) \hat{\mathrm{i}}+(3+1) \hat{\mathrm{j}}+(4-2) \hat{\mathrm{k}}}{2}$

$=\dfrac{6 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}}{2}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

17. दर्शाइए कि बिंदु $A, B, C$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $a=3 i-4 j-4 k, b=2 i-j+k, c=i-3 j-5 k$ है, एक समकोण त्रिभुज के शिर्षो का निर्माण करते है।

उत्तर: $a=3 i-4 j-4 k, b=2 i-j+k, c=i-3 j-5 k$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{b}-\mathrm{a}=(2-3) \hat{\mathrm{i}}+(-1+4) \hat{\mathrm{j}}+(1+4) \hat{\mathrm{k}}=-\hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\mathrm{c}-\mathrm{b}=(1-2) \hat{\mathrm{i}}+(-3+1) \dot{\mathrm{j}}+(-5-1) \hat{\mathrm{k}}=-\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-6 \hat{\mathrm{k}}$

$\overline{\mathrm{CA}}=\mathrm{a}-\mathrm{c}=(3-1) \hat{\mathrm{i}}+(-4+3) \hat{\mathrm{j}}+(-4+5) \hat{\mathrm{k}}=2 \mathrm{i}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}=-(-1)^{2}+3^{2}+5^{2}=-1+9+25=35$

$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^{2}=(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}=1+4+36=41$

$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}=4+1+1=6$

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^{2}=35+6=41=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^{2}$

इसी कारण त्रिकोण $\mathrm{ABC}$ समकोण है।

18. त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित मे से कौन सा कथं सत्य नहीं है। 

(a) ${{AB + BC + CA  =  0}}$

(b) ${{AB + BC - AC  =  0}}$

(c) ${{AB + BC - CA  =  0}}$

(d) ${{AB - CB + CA  =  0}}$

उत्तर: $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=-\mathrm{CA}$

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=0^{\circ}$

तो विकल्प (a) सत्य है।

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}=0 \ldots \ldots \cdots \cdots(2)$

तो विकल्प (b) सत्य है।

(2) से हमे मिलेगा $\mathrm{AB}-\mathrm{CB}+\mathrm{CA}=0$

तो विकल्प (d) सत्य है।

अब (c) से

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{CA}=\mathrm{O}$

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$

(1) और (3) से मिलेगा

$\mathrm{AC}=\mathrm{CA}$

$\mathrm{AC}=-\mathrm{AC}$

$\mathrm{AC}+\mathrm{AC}=0$

$2 \mathrm{AC}=\overline{0}$

$\overline{\mathrm{AC}}=\overline{0}$

जो गलत है।

अतः (c) सत्य नहीं है।

19. यदि a और b दो संरेख सदिश है तो निम्नलिखित मे से कौन सा कथन सही नहीं है:

(a) ${{b  =  a}}$ किसी अदिश के लिए 

(b) ${{a  =  b}}$ 

(c) ${{a,}}\;{{b}}$ के क्रमागत घटक समानुपती नहीं है। 

(d) दोनों सदिश ${{a,}}\;{{b}}$ की दिशा समान है परंतु विभिन्न है। 

उत्तर: विकल्प (d) सही नहीं है कारण अगर a, b दो संरेख सदिश है तो यह जरूरी नहीं की वह दोनों सदिश एक ही दिशा मे हो। उनकी दिशा अलग हो सकती है। 

कारण :

$b=\lambda a$

$\lambda=\pm 1, a=\pm b$

$\bar{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}, b=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$

$\bar{b}=\lambda a$

$b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}=\lambda\left(a_{1} i+a_{2} j+a_{3} \hat{k}\right)$

$b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}=\left(\lambda a_{1}\right) \hat{i}+\left(\lambda a_{2}\right) \hat{j}+\left(\lambda a_{3}\right) \hat{k}$

$b_{1}=\lambda a_{1}, b_{2}=\lambda a_{2}, b_{3}=\lambda a_{3}$

$\dfrac{b_{1}}{a}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}=\dfrac{b_{3}}{a_{3}}=\lambda$

प्रश्नावली 10.3

1. दो सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ के परिणाम क्रमश: $\sqrt{3}, 2$ है और $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}$ है तो $\vec{a}, \vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ के बीच $\theta$ कोण है, तो

$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a}| \vec{b}|}$

$\because \vec{a} \times \vec{b}=\sqrt{6},|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=2$ 

$\therefore \cos \theta=\dfrac{\sqrt{6}}{(\sqrt{3})(2)}=\dfrac{(\sqrt{3})(\sqrt{2})}{(\sqrt{3})(2)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi}{4}$

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$

2. सदिशों $\hat{1}-2 \hat{j}+3 \hat{k}, 3 \hat{1}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})$

तथा $\vec{b}=(3 \hat{1}-2 \hat{j}+\hat{k})$

और माना सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ के बीच $\theta$ कोण है, तो

$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \times(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})}{|\hat{1}-2 \hat{j}+3 \hat{k}||(3 \hat{1}-2 \hat{j}+\hat{k})|} \mid$

$=\dfrac{1.3+(-2)(-2)+3.1}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}} \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}$

$=\dfrac{3+4+3}{\sqrt{1+4+9} \sqrt{9+4+1}}$

$=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$

$\theta=\cos ^{-1} \dfrac{5}{7}$

3. सदिश $\hat{1}+\hat{j}$ पर सदिश $\hat{1}-\hat{j}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $\vec{a}=\hat{1} \hat{j}, \vec{b}=\hat{1}+\hat{j}$ $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप

$=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}=\dfrac{(\hat{1} \hat{\mathrm{j}}) \times(\hat{1}+\hat{\mathrm{j}})}{|\hat{1}+\hat{\mathrm{j}}|}$

$=\dfrac{1-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{0}{\sqrt{2}}$

$=0$

4. सदिश $\hat{1}+3 \hat{j}+7 \hat{k}$ का सदिश $7 \hat{1} \hat{-j}+8 \hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: माना $\vec{a}=\hat{1}+3 \hat{j}+7 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=7 \hat{1} \hat{j}+8 \hat{k}$

$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप

$=\dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{b}|}=\dfrac{(\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k})(7 \hat{1} \hat{j}+8 \hat{k})}{|7 \hat{1} \hat{j}+8 \hat{k}|}$

$=\dfrac{1.7+3(-1)+7.8}{\sqrt{7^{2}+(-1)^{2}+8^{2}}}=\dfrac{7-3+56}{\sqrt{49+1+64}}$

$=\dfrac{60}{\sqrt{114}}$

5. दर्शाइए की दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों मे से प्रत्येक मात्रक सदिश है: $\dfrac{1}{7}(2 \hat{1}+3 \hat{j}+6 \hat{k}), \dfrac{1}{7}(3 \hat{1}-6 \hat{j}+2 \hat{k}), \dfrac{1}{7}(6 \hat{1}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लम्बवत है।

उत्तर: माना $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\dfrac{1}{7}(2 \hat{1}+3 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\dfrac{1}{7}\left(3 \hat{1}-(\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \overrightarrow{\mathrm{c}}=\dfrac{1}{7}(6 \hat{1}+2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\right.$

अब $|\vec{a}|=\dfrac{1}{7} \sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\dfrac{\sqrt{49}}{7}=\dfrac{7}{7}=1$

$|\vec{b}|=\dfrac{1}{7} \sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}=\dfrac{\sqrt{49}}{7}=\dfrac{7}{7}=1$

$|\vec{c}|=\dfrac{1}{7} \sqrt{6^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\dfrac{\sqrt{49}}{7}=\dfrac{7}{7}=1$

चुकी तीनों सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ का परिणाम 1 है।

ये सदिश मात्रक सदिश है।

इति सिद्धम।

सदिश $\vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ है के लम्बवत होगा यदि $\vec{a} \times \vec{b}=0$

अर्थात $\vec{a} \times \vec{b}=\left[\dfrac{1}{7}(2 \hat{1}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \times \dfrac{1}{7}(3 \hat{1}-6 \hat{j}+2 \hat{k})\right]$

$=\dfrac{1}{49}[2(3)+(3)(-6)+(6)(2)]$

$=\dfrac{1}{49}(6-18+12)=0$

$\vec{b} \times \vec{c}=\left[\dfrac{1}{7}(3 \hat{1}-6 \hat{j}+2 \hat{k}) \times \dfrac{1}{7}(6 \hat{1}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\right]$

$=\dfrac{1}{49}[(3)(6)+(-6)(2)+(2)(-3)]$

$=\dfrac{1}{49}(18-12-6)=0$

$\vec{c} \times \vec{a}=\left[\dfrac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \times \dfrac{1}{7}(2 \hat{1}+3 \hat{j}+6 \hat{k})\right]$

$=\dfrac{1}{49}[(6)(2)+(2)(3)+(-3)(6)]$

$=\dfrac{1}{49}[12+6-18]=0$

$\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}$ मे प्रत्येक का मान शून्य है।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \perp \overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{c}} \perp \overrightarrow{\mathrm{a}}$

अतः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लमबवत है।

इति सिद्धम।

6. यदि $(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=8$ और $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$ हो तो $|\vec{a}|,|\vec{b}|$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है $(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=8$

$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{b}=8$

परंतु $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{a}$

$\therefore \vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{b}=8$

$\vec{a} \times \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{b}=8$

$64|\vec{b}|^{2}-\left.\vec{b}\right|^{2}=8 \quad[\because|\vec{a}|=8|\vec{b}|]$

$63|\vec{b}|^{2}=8$

$\therefore|\vec{b}|=\sqrt{\dfrac{8}{63}}=\dfrac{2}{3} \sqrt{\dfrac{2}{7}}$

$|\vec{a}|=8|\vec{b}|=8 \times \dfrac{2}{3} \sqrt{\dfrac{2}{7}}=\dfrac{16}{3} \sqrt{\dfrac{2}{7}}$

7. $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \times(2 \vec{a}+7 \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \times(2 \vec{a}+7 \vec{b})$

$=(3 \vec{a}) \times(2 \vec{a})+(3 \vec{a}) \times(7 \vec{b})+(-5 \vec{b}) \times(2 \vec{a})+(-5 \vec{b}) \times(7 \vec{b})$

$=6|\vec{a}|^{2}+21(\vec{a} \times \vec{b})-10(\vec{b} \times \vec{a})-35|\vec{b}|^{2} \quad[\because \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{a}]$

$=6|\vec{a}|^{2}+21(\vec{a} \times \vec{b})-10(\vec{a} \times \vec{b})-35|\vec{b}|^{2}$

$=6|\vec{a}|^{2}+11(\vec{a} \times \vec{b})-35|\vec{b}|^{2}$

8. दो सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ के परिणाम ज्ञात कीजिए यदि इनके परिणाम समान है और इन के बीच का कोण $60^{\circ}$ है तथा उनका अदिश गुणनफल $\dfrac{1}{2}$ है।

उत्तर: दिया है $\theta=60^{\circ}, \vec{a} \times \vec{b}=\dfrac{1}{2},|\vec{a}|=|\vec{b}|$

सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ के बीच का कोण यदि $\theta$ हो तो

$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos 60^{\circ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{|\vec{a}|^{2}} ; \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2|\vec{a}|^{2}}$

$|\vec{a}|^{2}=1 ;|\vec{a}|=1$

$|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$

9. यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}$ के लिए $(\vec{x}-\vec{a}) \times(\vec{x}+\vec{a})=12$ हो तो $|\vec{x}|$ ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया है $(\vec{x}-\vec{a}) \times(\vec{x}+\vec{a})=12$

$(\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}) \times(\overrightarrow{\mathrm{x}}+\overrightarrow{\mathrm{a}})=12$

$\overrightarrow{\mathrm{x}} \times \overrightarrow{\mathrm{x}}+\overrightarrow{\mathrm{x}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}=12$

$|\overrightarrow{\mathrm{x}}|^{2}-\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|^{2}=12 \quad[\because \overrightarrow{\mathrm{x}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{x}}]$

$|\overrightarrow{\mathrm{x}}|^{2}-1=12 \quad[\because|\vec{a}|=1]$

$|\mathrm{x}|^{2}=13$

$|\overrightarrow{\mathrm{x}}|=\sqrt{13}$

10. यदि $\vec{a}=2 \hat{1}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{1}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ इस प्रकार है की $\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}$ पर लंब है तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है $\vec{a}=2 \hat{1}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$

$\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2 \hat{1}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(-\hat{1}+2 \hat{j}+\hat{k})$

$=(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}$

$\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}=3 \hat{1}+\hat{j}$

$\vec{a}+\lambda \vec{b} \perp \vec{c}$

$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \times(\vec{c})=0$

${[(2-\lambda) \hat{1}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}][3 \hat{i}+\hat{j}]=0}$

$3(2-\lambda)+(2+2 \lambda) \times 1+(3+\lambda) \times 0=0$

$6-3 \lambda+2+2 \lambda=0$

$\lambda=8$

11. दर्शाइए की दो शून्यतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ के लिए $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है। 

उत्तर: दिया है $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है

यदि $[|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}] \times[|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}]=0$

$=|\vec{a}| \vec{b} \times|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{a}| \vec{b}|\vec{b}| \vec{a}+\left.|\vec{b}| \vec{a}|\vec{b} \times \vec{a}-| \vec{b}\right|^{2} \vec{a} \times \vec{a}$

$=|\vec{a}|^{2} \vec{b} \times \vec{b}-\left.\vec{a}|| \vec{b}|\vec{a} \times \vec{b}+| \vec{b}|| \vec{a}|\vec{a} \times \vec{b}-| \vec{b}\right|^{2}|\vec{a}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}=0$

अतः दिए गए सदिश एक दूसरे पर लंब है।

इति सिद्धम।

12. यदि $\vec{a} \times \vec{a}=0, \vec{a} \times \vec{b}=0$ तो सदिश $\vec{b}$ के बारे मे क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है। 

उत्तर: $\vec{a} \times \vec{a}=0, \vec{a} \times \vec{b}=0$

$\vec{a} \times \vec{a}=0$

$|\vec{a}|^{2}=0$

$|\vec{a}|=0, \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=0$

अतः $\vec{b}$ कोई भी सदिश हो सकता है।

13. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मात्रक सदिश इस प्रकार है की $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ तो $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} . \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मात्रक सदिश है।

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$

$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c} \ldots \ldots \ldots(i)$

$\vec{a} \times(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \times(-\vec{c})$

$\vec{a} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{a} \times \vec{c}$

$|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=0$

$\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=-1 \ldots \ldots$

पुन: समीकरण (i) से

$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times(-\overrightarrow{\mathrm{c}})$

$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}$

$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}=0$

$\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=-1 \ldots \ldots  { (iii)}$

पुन: समीकरण (i) से

$\overrightarrow{\mathrm{c}} \times(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})=\overrightarrow{\mathrm{c}} \times(-\overrightarrow{\mathrm{c}})$

$\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}$

$\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^{2}=0$

$\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-1 \ldots \ldots  { (iv) }$

समीकरण (i) और (iv) को जोड़ने पर

$2(\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a})=-3$

$\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=-\dfrac{3}{2}$

14. यदि $\vec{a}=0$ अथवा $\vec{b}=0$ तब $\vec{a} \times \vec{b}=0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

उत्तर: दिया है जब $\vec{a}=0$ अथवा $\vec{b}=0$ तब $\vec{a} \times \vec{b}=0$ परंतु यदि $\vec{a} \times \vec{b}=0$ हो तो $\vec{a}, \vec{b}$ का शून्य होना सत्य नहीं है।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt{35}$

$\vec{a} \times \vec{b}=(\hat{1}-2 \hat{j}+\hat{k})(1+3 \hat{j}+5 \hat{k})=1.1-2.3+1.5=0$

अतः $\vec{a} \times \vec{b}=0$ परंतु $\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0$

15. यदि किसी त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष $A, B, C$ क्रमश: $(1,2,3),(-1,0,0),(0,1,2)$ है तो $\angle A B C$ ज्ञात कीजिए। $\angle \mathrm{ABC}$ संदेशों $\overrightarrow{\mathrm{BA}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ के बीच का कोण है।

उत्तर: मान लीजिए $O$ मूल बिन्दु हो तो $A$ का स्थिति सदिश, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\hat{1}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}, \mathrm{B}$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\hat{1}$

तथा $C$ का स्थिति सदिश, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(\hat{1}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})+\hat{1}$

$=2 \hat{1}+2 \hat{j}+3 \hat{\mathrm{k}}$

$|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(\hat{j}+2 \hat{k})-(-\hat{1})$

$=\hat{1}+\hat{j}+2 \hat{k}$

$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BA}}$ के बीच कोण $\angle \mathrm{ABC}$

$\cos \mathrm{ABC}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{BC}} \times \overrightarrow{\mathrm{BA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}| \overrightarrow{\mathrm{BA}}|}$

$=\dfrac{(\hat{1}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}) \times(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})}{\sqrt{6} \times \sqrt{7}}$

$=\dfrac{2.1+2 \times 1+3.2}{\sqrt{102}}=\dfrac{10}{\sqrt{102}}$

$\angle \mathrm{ABC}=\cos ^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{102}}\right)$

16. दर्शाइए की बिन्दु $\mathrm{A}(1,2,7), \mathrm{B}(2,6,3), \mathrm{C}(3,10,-1)$ संरेख है। 

उत्तर: दिए गए बिन्दुओ के स्थिति सदिश

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\hat{1}+2 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2 \hat{1}+6 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \hat{\mathrm{i}}+10 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

$=(2 \hat{1}+6 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})-(\hat{1}+2 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}})$

$=\hat{1}+4 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

$=(3 \hat{1}+10 \hat{\mathrm{j}} \hat{\mathrm{k}})-(2 \hat{1}+6 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})$

$=\hat{1}+4 \hat{j}-4 \hat{k}$

$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}$

$=(3 \hat{i}+10 \hat{j}-\hat{k})-(\hat{1}+2 \hat{j}+7 \hat{k})$

$=2 \hat{i}+8 \hat{j}-8 \hat{k}$

$=2(\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k})$

अर्थात $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ एक ही सदिश $\hat{i}+4 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$ को निरूपित करते है। अतः $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ संरेख है।

इति सिद्धम।

17. दर्शाइए की सदिश $2 \hat{1}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{1}-3 \hat{j}-5 \hat{k}, 3 \hat{1}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते है। 

उत्तर: मान लीजिए दिए हुए सदिशों $2 \hat{1} \hat{j}+\hat{k}, \hat{1}-3 \hat{j}-5 \hat{k}, 3 \hat{1}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ को क्रमश: $A, B, C$ से व्यक्त करे, $A$ का स्थिति संदिश $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \hat{1} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{B}$ का स्थिति संदिश $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\hat{1}-3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{C}$ का स्थिति संदिश $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \hat{1}-4 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$

अब $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

$=(\hat{1}-3 \hat{j}-5 \hat{k})-(2 \hat{1}-\hat{j}+\hat{k})$

$=-1-2 \hat{j}+6 \hat{k}$

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(3 \hat{1}-4 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})-(\hat{1}-3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}})=2 \hat{1} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{6}$

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(2 \hat{1} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})-(3 \hat{1}-4 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})=-\hat{1}+3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \mid=\sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{35}$

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ के लिए जहा $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ हो, तब

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^{2}$

$41=6+35=41$

अतः दिए गए सदिशों से एक समकोण त्रिभुज की रचना होती है।

इति सिद्धम।

18. यदि शुनयेतर सदिश $\vec{a}$ का परिणाम $a$ है और $\lambda$ एक शुनयेतर अदिश है तो $\lambda \vec{a}$ एक मात्रक सदिश है यदि

(a) $\lambda=1$

(b) $\lambda=-1$

(c) $\mathrm{a}=|\lambda|$

(d) $\mathrm{a}=\dfrac{1}{|\lambda|}$

उत्तर: दिया है : $\vec{a}$ का परिणाम $=a$

अर्थात $|\vec{a}|=a$

$\lambda \vec{a}$ एक मात्रक सदिश है

$|\lambda \vec{a}|=1$

$|\lambda||\vec{a}|=1$

$|\lambda| a=1$

$a=\dfrac{1}{|\lambda|}$

अतः विकल्प $(d)$ सही है।

प्रश्नावली 10.4

1. यदि ${{\vec a  =  \hat \imath  - 7\hat j + 7\hat k , \vec b  =  3\hat \imath  - 2\hat j + 2\hat k}}$ तो ज्ञात ${{|\vec a \times \vec b|}}$ कीजिए।

उत्तर: ${{\vec a  =  \hat \imath  - 7\hat j + 7\hat k , \vec b  =  3\hat \imath  - 2\hat j + 2\hat k}}$

${{\vec a \times \vec b  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{1}}&{{{ - 7}}}&{{7}} \\ {{3}}&{{{ - 2}}}&{{2}} \end{array}} \right|$

${{ =  \hat \imath ( - 14 + 14) - \hat j(2 - 21) + \hat k( - 2 + 21)}}$

${{ =  19\hat j + 19\hat k}}$

${{ =  |\vec a \times \vec b|  =  }}\sqrt {{{{{(19)}}}^{{2}}}{{ + (19}}{{{)}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{2 \times (19}}{{{)}}^{{2}}}} {{  =  19}}\sqrt {{2}}$

2. सदिश ${{\vec a + \vec b , \vec a - \vec b}}$ की लंब दिशा मे मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहा ${{\vec a  =  3\hat \imath  + 2\hat j + 2\hat k , \vec b  =  \hat \imath  + 2\hat j - 2\hat k}}$ है।

उत्तर: ${{\vec a  =  3\hat \imath  + 2\hat j + 2\hat k , \vec b  =  \hat \imath  + 2\hat j - 2\hat k}}$

${{\vec a + \vec b  =  4\hat \imath  + 4\hat j , \vec a + \vec b  =  2\hat \imath  + 4\hat k}}$

${{(\vec a + \vec b) \times (\vec a + \vec b)  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{4}}&{{4}}&{{0}} \\ {{2}}&{{0}}&{{4}} \end{array}} \right|$

${{ =  16\hat \imath  - 16\hat j - 8\hat k}}$

${{|(\vec a + \vec b) \times (\vec a + \vec b)|  =  }}\sqrt {{{{{(16)}}}^{{2}}}{{ + ( - 16}}{{{)}}^{{2}}}{{ + ( - 8}}{{{)}}^{{2}}}} {{  =  24}}$

${{ =   \pm }}\dfrac{{{{(\vec a + \vec b) \times (\vec a + \vec b)}}}}{{{{|(\vec a + \vec b) \times (\vec a + \vec b)|}}}}{{  =  }}\dfrac{{{{16\hat i - 16\hat j - 8\hat k}}}}{{{{24}}}}{{  =   \pm }}\dfrac{{{2}}}{{{3}}}{{\hat \imath }} \mp \dfrac{{{2}}}{{{3}}}{{\hat j}} \mp \dfrac{{{2}}}{{{3}}}{{\hat k}}$

3. यदि एक मात्रक सदिश ${{\vec a , \hat \imath }}$ के साथ $\dfrac{{{\pi }}}{{{3}}}{{ , \hat j}}$ के साथ $\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}{{ , \hat k}}$ के साथ एक न्यून कोण ${{\theta }}$ बनाता है तो ${{\theta }}$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से ${{\vec a}}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  ${{\vec a  =  }}{{{a}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{a}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{a}}_{{3}}}{{\hat k , |\vec a|  =  1}}$

${{cos}}\dfrac{{{\pi }}}{{{3}}}{{  =  }}\dfrac{{{{{a}}_{{1}}}}}{{{{|\vec a|}}}}$

$\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{  =  }}{{{a}}_{{1}}}{{  [|\vec a|  =  1]}}$

${{cos}}\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}{{  =  }}\dfrac{{{{{a}}_{{2}}}}}{{{{|\vec a|}}}}$

$\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}{{  =  }}{{{a}}_{{2}}}{{  [|\vec a|  =  1]}}$

${{cos\theta   =  }}\dfrac{{{{{a}}_{{3}}}}}{{{{|\vec a|}}}}$

${{{a}}_{{3}}}{{  =  cos\theta }}$

${{|a|  =  1}}$

$\sqrt {{{a}}_{{1}}^{{2}}{{ + a}}_{{2}}^{{2}}{{ + a}}_{{3}}^{{2}}} {{  =  1}}$

${\left( {\dfrac{{{1}}}{{{2}}}} \right)^{{2}}}{{ + }}{\left( {\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}} \right)^{{2}}}{{ + co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta   =  1}}$

$\dfrac{{{1}}}{{{4}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{ + co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta   =  1}}$

${{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta   =  }}\dfrac{{{1}}}{{{4}}}$

${{cos\theta   =  }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

${{\theta   =  }}\dfrac{{{\pi }}}{{{3}}}$

${{{a}}_{{3}}}{{  =  cos}}\dfrac{{{\pi }}}{{{3}}}{{  =  }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

$\therefore \;\left( {\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{,}}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}{{,}}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}} \right)$

4. दर्शाइए की ${{(\vec a + \vec b) \times (\vec a - \vec b)  =  2(\vec a \times \vec b)}}$

उत्तर: हमे यह सिद्ध करना है की ${{(\vec a + \vec b) \times (\vec a - \vec b)  =  2(\vec a \times \vec b)}}$

${{(\vec a + \vec b) \times (\vec a - \vec b)  =  (\vec a - \vec b) \times \vec a + (\vec a - \vec b) \times \vec b}}$

${{ =  \vec a \times \vec a - \vec b \times \vec a + \vec a \times \vec b - \vec b \times \vec b}}$

${{ =  2(\vec a \times \vec b)}}$

5. ${{\lambda  , \mu }}$ ज्ञात कीजिए, यदि ${{(2\hat \imath  + 6\hat j + 27\hat k) \times (\hat \imath  + \lambda \hat j + \mu \hat k)  =  \vec 0}}$

उत्तर: ${{(2\hat \imath  + 6\hat j + 27\hat k) \times (\hat \imath  + \lambda \hat j + \mu \hat k)  =  \vec 0}}$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{2}}&{{6}}&{{{27}}} \\ {{1}}&{{\lambda }}&{{\mu }} \end{array}} \right|{{  =  0\hat \imath  + 0\hat j + 0\hat k}}$

${{\hat \imath (6\mu  - 27\lambda ) - \hat j(2\mu  - 27) + \hat k(2\lambda  - 6)  =  0\hat \imath  + 0\hat j + 0\hat k}}$\

${{6\mu  - 27\lambda   =  0}}$

${{2\mu  - 27  =  0}}$

${{2\lambda  - 6  =  0}}$

${{\lambda   =  3}}$

${{2\mu  - 27  =  0}}$

${{\mu   =  }}\dfrac{{{{27}}}}{{{2}}}$

$\therefore {{ \lambda   =  3 , \mu   =  }}\dfrac{{{{27}}}}{{{2}}}$

6. दिया हुआ है की ${{\vec a \times \vec b  =  0 , \vec a \times \vec b  =  0}}$ सदिश ${{\vec a , \vec b}}$ के बारे मे आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते है।

उत्तर: दिया हुआ है की ${{\vec a \times \vec b  =  0 , \vec a \times \vec b  =  0}}$

${{|\vec a|  =  0 ; |\vec b|  =  0 ; \vec a}} \bot {{\vec b}}$

${{\vec a \times \vec b  =  0}}$

${{|\vec a|  =  0 , |\vec b|  =  0 ; \vec a || \vec b}}$

${{\vec a \times \vec b  =  0}}$

7. मान लीजिए सदिश ${{\vec a , \vec b , \vec c}}$ क्रमश: ${{{a}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{a}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{a}}_{{3}}}{{\hat k , }}{{{b}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{b}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{b}}_{{3}}}{{\hat k , }}{{{c}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{c}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{c}}_{{3}}}{{\hat k}}$ के रूप मे दिए हुए है तब दर्शाइए की ${{\vec a \times (\vec b + \vec c)  =  \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c}}$

उत्तर: दिया है ${{{a}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{a}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{a}}_{{3}}}{{\hat k , }}{{{b}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{b}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{b}}_{{3}}}{{\hat k , }}{{{c}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{c}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{c}}_{{3}}}{{\hat k}}$

सिद्ध करना है ${{\vec a \times (\vec b + \vec c)  =  \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c}}$

${{\vec a  = }}{{{a}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{a}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{a}}_{{3}}}{{\hat k}}$

${{\vec b  =  }}{{{b}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{b}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{b}}_{{3}}}{{\hat k}}$

${{\vec c  =  }}{{{c}}_{{1}}}{{\hat \imath  + }}{{{c}}_{{2}}}{{\hat j + }}{{{c}}_{{3}}}{{\hat k}}$

${{(\vec b + \vec c)  =  }}\left( {{{{b}}_{{1}}}{{ + }}{{{c}}_{{1}}}} \right){{\hat \imath  + }}\left( {{{{b}}_{{2}}}{{ + }}{{{c}}_{{2}}}} \right){{\hat j + }}\left( {{{{b}}_{{3}}}{{ + }}{{{c}}_{{3}}}} \right){{\hat k}}$

${{\vec a \times (\vec b + \vec c)  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{{{a}}_{{1}}}}&{{{{a}}_{{2}}}}&{{{{a}}_{{3}}}} \\ {{{{b}}_{{1}}}{{ + }}{{{c}}_{{1}}}}&{{{{b}}_{{2}}}{{ + }}{{{c}}_{{2}}}}&{{{{b}}_{{3}}}{{ + }}{{{c}}_{{3}}}} \end{array}} \right|$

${{ =  \hat \imath }}\left[ {{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{3}}}{{ + }}{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{2}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{2}}}} \right]{{ + \hat j}}\left[ {{{ - }}{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{1}}}{{{c}}_{{3}}}{{ + }}} \right.\left. {{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{1}}}{{ + }}{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{1}}}} \right]{{ + \hat k}}\left[ {{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{2}}}{{ + }}{{{a}}_{{1}}}{{{c}}_{{2}}}{{ - }}{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{1}}}{{ - }}{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{1}}}} \right]$ ............(i)

${{\vec a \times \vec b  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath}}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{{{a}}_{{1}}}}&{{{{a}}_{{2}}}}&{{{{a}}_{{3}}}} \\ {{{{b}}_{{1}}}}&{{{{b}}_{{2}}}}&{{{{b}}_{{3}}}} \end{array}} \right|$

${{ =  \hat \imath }}\left[ {{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{2}}}} \right]{{ + \hat j}}\left[ {{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{1}}}} \right]{{ + \hat k}}\left[ {{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{2}}}{{ - }}} \right.{{n\& }}\left. {{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{1}}}} \right]$............(ii)

${{\vec a \times \vec c  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{{{a}}_{{1}}}}&{{{{a}}_{{2}}}}&{{{{a}}_{{3}}}} \\ {{{{c}}_{{1}}}}&{{{{c}}_{{2}}}}&{{{{c}}_{{3}}}}\end{array}} \right|$

${{ =  \hat \imath }}\left[ {{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{2}}}} \right]{{ + \hat j}}\left[ {{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{1}}}{{ - }}{{{a}}_{{1}}}{{c}}} \right]{{ + \hat k}}\left[ {{{{a}}_{{1}}}{{{c}}_{{2}}}{{ - }}{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{1}}}} \right]$ ..........(iii)

(ii) और (iii) जोड़ने पर

${{ =  \hat \imath }}\left[ {{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{2}}}{{ + }}{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{2}}}} \right]{{ + \hat j}}\left[ {{{{a}}_{{3}}}{{{c}}_{{1}}}{{ - }}{{{a}}_{{1}}}{{c + }}} \right.\left. {{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{3}}}{{ - }}{{{a}}_{{3}}}{{{b}}_{{1}}}} \right]{{ + \hat k}}\left[ {{{{a}}_{{1}}}{{{c}}_{{2}}}{{ - }}{{{a}}_{{2}}}{{{c}}_{{1}}}{{ + }}{{{a}}_{{1}}}{{{b}}_{{2}}}{{ - }}{{{a}}_{{2}}}{{{b}}_{{1}}}} \right]$ ..........(iv)

(i) और (iv) से

${{\vec a \times (\vec b + \vec c)  =  \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c}}$

8. यदि ${{\vec a  =  \vec 0 , \vec b  =  \vec 0}}$ तब ${{\vec a \times \vec b  =  \vec 0}}$ होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उतर की पुष्टि कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि

${{\vec a  =  2\hat \imath  + 3\hat j + 4\hat k}}$

${{\vec b  =  4\hat \imath  + 6\hat j + 8\hat k}}$

${{\vec a \times \vec b  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{2}}&{{3}}&{{4}} \\ {{4}}&{{6}}&{{8}} \end{array}} \right|$

${{ =  \hat l(24 - 24) - \hat j(16 - 16) + \hat k(12 - 12)}}$

${{ =  0\hat \imath  + 0\hat j + 0\hat k  =  \vec 0}}$

${{|\vec a|  =  }}\sqrt {{{29}}} {{ , |\vec b|  =  }}\sqrt {{{116}}}$

इसका विलोम असत्य।

9. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष ${{A(1,1,2), B(2,3,5), C(1,5,5)}}$ है।

उत्तर: ${{A(1,1,2), B(2,3,5), C(1,5,5)}}$

$\overrightarrow {{{AB}}} {{  =  \hat \imath  + 2\hat j + 3\hat k}}$

$\overrightarrow {{{BC}}} {{  =   - \hat \imath  + 2\hat j}}$

$\vartriangle {{ABC  =  }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{|}}\overrightarrow {{{AB}}} {{ \times }}\overrightarrow {{{BC}}} {{|}}$

${{|}}\overrightarrow {{{AB}}} {{ \times }}\overrightarrow {{{BC}}} {{|  =  }}\sqrt {{{61}}}$

$\vartriangle {{ABC  =  }}\dfrac{{\sqrt {{{61}}} }}{{{2}}}$

10. एक समांतर चतुर्भुज का छेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्र भुजाये सदिश ${{\vec a  =  \hat \imath  - \hat j + 3\hat k , \vec b  =  2\hat \imath  - 7\hat j + \hat k}}$ द्वारा निर्धारित है।

उत्तर: ${{\vec a  =  \hat \imath  - \hat j + 3\hat k , \vec b  =  2\hat \imath  - 7\hat j + \hat k}}$

${{\vec a \times \vec b  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{2}}&{{3}}&{{4}} \\ {{4}}&{{6}}&{{8}} \end{array}} \right|$

${{ =  \hat \imath ( - 1 + 21) - \hat j(1 - 6) + \hat k( - 7 + 2)}}$

${{ =  20\hat \imath  + 5\hat j - 5\hat k}}$

${{|\vec a \times \vec b|  =  }}\sqrt {{{{{(20)}}}^{{2}}}{{ + }}{{{5}}^{{2}}}{{ + }}{{{5}}^{{2}}}} {{  =  15}}\sqrt {{2}}$

11. मान लीजिए सदिशा ${{\vec a , \vec b}}$ इस प्रकार है की ${{|\vec a|  =  3 , |\vec b|  =  }}\dfrac{{\sqrt {{2}} }}{{{3}}}$ तब ${{\vec a \times \vec b}}$ एक मात्रक सदिशा है यदि ${{\vec a , \vec b}}$ के बीच का कोण है:

(a) $\dfrac{{{\pi }}}{{{6}}}$

(b) $\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}$

(c) $\dfrac{{{\pi }}}{{{3}}}$

(d) $\dfrac{{{\pi }}}{{{2}}}$

उत्तर: ${{|\vec a|  =  3 , |\vec b|  =  }}\dfrac{{\sqrt {{2}} }}{{{3}}}$

${{|\vec a \times \vec b|  =  1}}$

${{|\vec a| |\vec b| |sin\theta \hat n|  =  1}}$

${{|\vec a| |\vec b| |sin\theta |  =  1}}$

${{3 \times }}\dfrac{{\sqrt {{2}} }}{{{3}}}{{ \times sin\theta   =  1}}$

${{sin\theta   =  }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}$

${{\theta   =  }}\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}$

सही विकल्प (b) है ।

12. एक आयत के शीर्षों A, B C, D जिनके स्थिति सदिश क्रमश: ${{ - \hat \imath  + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k , \hat \imath  + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k , \hat \imath  - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k ,  - \hat \imath  - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k}}$ है का क्षेत्रफल है:

(a) $\dfrac{1}{2}$

(b) $1$

(c) $2$

(d) $4$

उत्तर: $\overrightarrow {{{OA}}} {{  =   - \hat \imath  + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k , }}\overrightarrow {{{OB}}} {{  =  \hat \imath  + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k , }}\overrightarrow {{{OC}}} {{  =   - \hat \imath  - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{\hat j + 4\hat k}}$

$\overrightarrow {{{AB}}} {{  =  (1 + 1)\hat \imath  + }}\left( {\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}} \right){{\hat j + (4 - 4)\hat k  =  2\hat \imath }}$

$\overrightarrow {{{BC}}} {{  =  (1 - 1)\hat \imath  + }}\left( {{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}} \right){{\hat j + (4 - 4)\hat k  =   - \hat j}}$

$\overrightarrow {{{AB}}} {{ \times }}\overrightarrow {{{BC}}} {{  =  }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat \imath }}}&{{{\hat j}}}&{{{\hat k}}} \\ {{2}}&{{0}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{ - 1}}}&{{0}} \end{array}} \right|{{  =   - 2\hat k}}$

${{|}}\overrightarrow {{{AB}}} {{ \times }}\overrightarrow {{{BC}}} {{|  =  }}\sqrt {{{{{( - 2)}}}^{{2}}}} {{  =  2}}$

विकल्प (c) सही उत्तर है।

प्रश्नावली 10.5

1. XY प्लेन मे एक यूनिट वेक्टर लिखिए, जो सकारात्मक के साथ का ${{30}}^\circ$ कोण बनाता है। x – ऐक्सिस की दिशा। 

उत्तर: यदि XY प्लेन मे r यूनिट वेक्टर है तो ${{r}}\;{{ = }}\;{{cos\theta i + sin\theta i}}$

यह ${{\theta }}$ x – यक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इकाई वेक्टर द्वारा बनाया गया कोण है। 

इसलिए ${{\theta }}$ = ${{30}}^\circ$

${{r}}\;{{ = }}\;{{cos30^\circ i + sin30^\circ i}}$

${{ =  }}\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{i + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{j}}$ 

इसलिए आवश्यक इकाई वेकटर है $\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{i + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{j}}$

2. बिन्दुओ मे शामिल होने वाले वेक्टर के अदिश घटकों और परिणाम का पता लगाए ${{P(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{,}}{{{z}}_{{1}}}{{) , Q(}}{{{x}}_{{2}}}{{,}}{{{y}}_{{2}}}{{,}}{{{z}}_{{2}}}{{)}}$

उत्तर: ${{P(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{,}}{{{z}}_{{1}}}{{) , Q(}}{{{x}}_{{2}}}{{,}}{{{y}}_{{2}}}{{,}}{{{z}}_{{2}}}{{)}}$ से जोड़ने वाले वेक्टर मे प्राप्त किया जा सकता है 

PQ = Q की स्थिति वेक्टर – P की स्थिति वेक्टर ${{ =  (}}{{{x}}_2}{{ - }}{{{x}}_1}{{)i + (}}{{{y}}_2}{{ - }}{{{y}}_1}{{)j + (}}{{{z}}_2}{{ - }}{{{z}}_1}{{)k}}$

${{|PQ|  =  }}\sqrt {{{{{(}}{{{x}}_2}{{ - }}{{{x}}_1}{{)}}}^{{2}}}{{ + (}}{{{y}}_2}{{ - }}{{{y}}_1}{{{)}}^{{2}}}{{ + (}}{{{z}}_2}{{ - }}{{{z}}_1}{{{)}}^{{2}}}}$ 

इसलिए स्केलर घटक और दिए गए बिन्दुओ से जोड़ने वाले वेक्टर के परिमाण क्रमश: है 

${{\{ (}}{{{x}}_2}{{ - }}{{{x}}_1}{{),(}}{{{y}}_2}{{ - }}{{{y}}_1}{{), + (}}{{{z}}_2}{{ - }}{{{z}}_1}{{)\} }}$ , $\sqrt {{{{{(}}{{{x}}_2}{{ - }}{{{x}}_1}{{)}}}^{{2}}}{{ + (}}{{{y}}_2}{{ - }}{{{y}}_1}{{{)}}^{{2}}}{{ + (}}{{{z}}_2}{{ - }}{{{z}}_1}{{{)}}^{{2}}}}$

3. एक लड़की पश्चिम की और ${{4 km}}$ चलती है, फर वह ${{30}}^\circ$ किमी पूर्व मे एक दिशा मे ${{3 km}}$ चलती है उतर और रुक जाती है। अपने प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की के विस्थापन का निर्धारण करे प्रस्थान। 

उत्तर: बता दे की O और B क्रमश: लड़की के प्रारम्भिक और अंतिम स्थान है। फर लड़की की स्थिति को दिखाया जा सकता है। 

अब हमारे पास है: 

${{OA  =   - 4i}}$

${{AB  =  i|AB|cos6}}{{{0}}^{{^\circ }}}{{ + j|AB|Sin6}}{{{0}}^{{^\circ }}}$

${{ =  i \times 3 \times (1/2) + j \times 3 \times (}}\sqrt {{3}} {{/2)}}$

${{ =  (3/2)i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j}}$ 

वेक्टर जोड़ के त्रिभुज नियम द्वारा हमारे पास:

${{OB  =  OA + AB}}$

${{ =  ( - 4i) + ((3/2)i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j)}}$

${{ =  ( - 4 + (3/2))i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j}}$

${{ =  (( - 8 + 3)/2)i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j}}$

${{ =  ( - 5/2)i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j}}$ 

इसलिए उसके प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन होता है ${{( - 5/2)i + (3}}\sqrt {{3}} {{/2)j}}$

4. यदि ${{a  =  }}\;{{b + c}}$ है तो क्या यह सच है की $\left| {{a}} \right|\;{{ = }}\;\left| {{b}} \right|{{ + }}\left| {{c}} \right|$ अपने जवाब का ओचित्य साबित करे। 

उत्तर: $\vartriangle {{ABC}}$ , ${{CB}}\;{{ = }}\;{{a}}\;{{,}}\;{{CA}}\,{{ = }}\;{{b}}\;{{,}}\;{{AB}}\;{{ = }}\,{{c}}$

अब वेक्टर जोड़ के त्रिभुज नियम द्वारा हमारे पास है ${{a  =  }}\;{{b + c}}$

यह स्पष्ट रूप से ज्ञात है कि $\left| {{a}} \right|{{,}}\left| {{b}} \right|{{,}}\left| {{c}} \right|$ के पक्षों का प्रतिनिधित्व करते है $\vartriangle {{ABC}}$

साथ ही यह ज्ञात है की किसी त्रिभुज के किन्ही दो भुजाओ की लंबाई तीसरी भुज से अधिक है। 

$\left| {{a}} \right| < \left| {{b}} \right| + \left| {{c}} \right|$

इसलिए यह सच नहीं है $\left| {{a}} \right|\;{{ = }}\;\left| {{b}} \right|{{ + }}\left| {{c}} \right|$

5. ${{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए ${{x(i + j + k)}}$ एक इकाई सदिश है। 

उत्तर: ${{x(i + j + k)}}$ एक इकाई वेक्टर है यदि 

$\left| {{{x(i + j + k)}}} \right|\; = \;1$

$\sqrt {{{{x}}^{{2}}}{{ + }}{{{x}}^{{2}}} + {{{x}}^{{2}}}} {{  =  1}}$

$\sqrt {{{3}}{{{x}}^{{2}}}} {{  =  1}}$

$\sqrt {{3}} {{x  =  1}}$

${{x  =  (1/}}\sqrt {{3}} {{)}}$ 

इसलिए x का आवश्यक मान है ${{(1/}}\sqrt {{3}} {{)}}$

6. ${{5}}$ इकाइयों के परिणाम के वेक्टर का पता लगाए और वेक्टर के परिणाम  के समांतर ${{a  =  2i + 3j - k , b  =  i - 2j + k}}$

उत्तर: हमारे पास है ${{a  =  2i + 3j - k , b  =  i - 2j + k}}$

आज्ञा देना c और a का परिणाम है। 

फिर, 

${{c  =  a + b  =  (2 + 1)i + (3 - 2)j + ( - 1 + 1)k  =  3i + j}}$

${{|c|  =  }}\sqrt {{{{3}}^2} + {1^2}} {{  =  }}\sqrt {{9}} {{ + 1  =  }}\sqrt {{{10}}}$

${{C  =  (c/|c|)  =  (3i + j)/}}\sqrt {{{10}}}$ 

इसलिए परिणाम पाँच इकाइयों का वेक्टर और वेक्टर के परिणामों के समांतर a और b है 

${{ \pm 5}}{{.c  =   \pm 5 \times (1/}}\sqrt {{{10}}} {{)(3i + j)  =   \pm (3}}\sqrt {{{10i}}} {{)/2 \pm (}}\sqrt {{{10/2}}} {{)j}}$ 

7. यदि ${{a  =  i + j + k , b  =  2i - j + 3k , c  =  i - 2j + k}}$ तो वेक्टर ${{2a - b + 3c }}$ के संयंत्र एक इकाई वेक्टर खोजे। 

उत्तर: हमारे पास है ${{a  =  i + j + k , b  =  2i - j + 3k , c  =  i - 2j + k}}$

${{2a - b + 3c  =  2(i + j + k) - (2i - j + 3k) + 3(i - 2j + k)}}$

${{ =  3i - 3j + 2k}}$

${{|2a - b + 3c|  =  }}\sqrt {{{{3}}^2}{{ + ( - 3}}{{{)}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{9 + 9 + 4}}} {{  =  }}\sqrt {{{22}}}$ 

इसलिए यूनिट वेक्टर के साथ ${{2a - b + 3c }}$

$\dfrac{(2a-b+3c)}{(2a-b+3c)}=\dfrac{(3i-3j+2k)}{\sqrt{{{22}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{{{22}}}}i-\dfrac{3}{\sqrt{{{22}}}}j+\dfrac{2}{\sqrt{{{22}}}}k$

8. दिखाए की अंक ${{A(1, - 2, - 8) , B(5,0, - 2) , C(11,3,7)}}$ आपस मे टकरा रहे है, और वह अनुपद ज्ञात कीजिए जिसमे ${{B,AC}}$ को विभाजित करता है। 

उत्तर: दिए गए बिन्दु ${{A(1, - 2, - 8) , B(5,0, - 2) , C(11,3,7)}}$ है। 

${{AB  =  (5 - 1)i + (0 + 2)j + ( - 2 + 8)k  =  4i + 2j + 6k}}$

${{BC  =  (11 - 5)i + (3 - 0)j + (7 + 2)k  =  6i + 3j + 9k}}$

${{AC  =  (11 - 1)i + (3 + 2)j + (7 + 8)k  =  10i + 5j + 15k}}$

${{|AB|  =  }}\sqrt {{{{4}}^2}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{6}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{16 + 4 + 36}}} {{  =  }}\sqrt {{{56}}} {{  =  2}}\sqrt {{{14}}}$ 

${{|BC|  =  }}\sqrt {{{{6}}^2}{{ + }}{{{3}}^{{2}}}{{ + }}{{{9}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{36 + 9 + 81}}} {{  =  }}\sqrt {{{126}}} {{  =  3}}\sqrt {{{14}}}$

${{|AC|  =  }}\sqrt {{{1}}{{{0}}^{{2}}}{{ + }}{{{5}}^{{2}}}{{ + 1}}{{{5}}^{{2}}}} {{  =  }}\sqrt {{{100 + 25 + 225}}} {{  =  }}\sqrt {{{350}}} {{  =  5}}\sqrt {{{14}}}$

${{|AC|  =  |AB| + |BC}}\mid$ 

इस प्रकार दिए गए बिन्दु A, B, C आपस मे टकराते है। 

अब बिन्दु B को अनुपाद मे AC को विभाजित करते है ${{\lambda :1}}$ तो हमारे पास है 

$OB  =  \dfrac{(\lambda OC+OA)}{(\lambda +1)}$

${{5i - 2k  =  (\lambda (11i + 3j + 7k) + (i - 2j - 8k))/(\lambda  + 1)}}$

${{(\lambda  + 1)(5i - 2k)  =  11\lambda i + 3\lambda j + 7\lambda k + i - 2j - 8k}}$

${{5(\lambda  + 1)i - 2(\lambda  + 1)k  =  (11\lambda  + 1)i + (3\lambda  - 2)j + (7\lambda  - 8)k}}$ 

संबंधित घटकों को बराबर करने पर हमे यह मिलता है 

${{5(\lambda  + 1)  =  11\lambda  + 1}}$

${{5\lambda  + 5  =  11\lambda  + 1}}$

${{6\lambda   =  4}}$

${{\lambda   =  \dfrac{4}{6}  =  \dfrac{2}{3}}}$

इसलिए बिन्दु B अनुपाद मे AC को विभाजित करता है ${{2:3}}$

9. एक बिन्दु R की स्थिति वेक्टर को खोजे जो दो बिन्दुओ P और Q को मिलाने वाली रेखा को विभाजित करता है जिसकी वेक्टर ${{((2a) + b) , (a - 3b)}}$ बाहरी रूप से ${{1:2}}$ के अनुपद मे है। यह भी बताए कि P, रेखा खंड RQ का मध्य बिन्दु है। 

उत्तर: यह दिया गया है की OP = ${{2a  + b}}$ , OQ = ${{a  - 3b}}$

यह दिया गया है की बिन्दु R अनुपाद मे दो बिन्दु P और Q को मिलाकर एक रेखा खंड को विभाजित करता है ${{1:2}}$ फिर अनुभाग सूत्र का उपयोग करने पर हमे यह मिलता है 

$OR = \dfrac{(2(2a+b)-(a-3b))}{(2-1)}=\dfrac{(4a+2b-a+3b)}{1}=3a+5$

इसलिए बिन्दु R की स्थिति वेक्टर है ${{3a + 5}}$

RQ के मध्य बिन्दु की स्थिति वेक्टर = $\dfrac{(OQ + OR)}{2}$ 

${{ =  \dfrac{(a-3b)+(3a+5b)}{2}}}$

${{ =  2a + b}}$

${{ =  OP}}$ 

इसलिए P लाइन सेगमेंट का मध्य बिन्दु है RQ

10. समांतर चतुर्भुज के दो समीपवर्ती भाग ${{2i - 4j + 5k , i - 2j - 3k}}$ है। इकाई विकर्ण को इसके विकर्ण के संयंत्र खोजे। इसके अलावा इसके क्षेत्र का पता लगाए। 

उत्तर: समांतर चतुर्भुज के समीपवर्ती भुजाये दी गई है ${{a  =  2i - 4j + 5k , b  =  i - 2j - 3k}}$

फिर एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है ${{a + b}}$

${{a + b  =  (2 + 1)i + ( - 4 - 2)j + (5 - 3)k  =  3i - 6j + 2k}}$

इस प्रकार, विकर्ण के समांतर इकाई वेक्टर है 

$\dfrac{(a+b)}{|a+b|}=\dfrac{(3i - 6j + 2k)}{\sqrt {{{{3}}^2}{{ + ( - 6}}{{{)}}^{{2}}}{{ + }}{{{2}}^{{2}}}}}$

$=\dfrac{(3i - 6j + 2k)}{\sqrt {{{9 + 36 + 4}}}}$

$=\dfrac{3}{7}i-\dfrac{6}{7}j+\dfrac{2}{7}k$

समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ${{|a \times b|}}$

${{ =  i(12 + 10) - j( - 6 - 5) + k( - 4 + 4)}}$

${{ =  22i + 11j  =  11(2i + j)}}$

${{|a \times b|  =  11}}\sqrt {\left( {{{{2}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} \right)} {{  =  11}}\sqrt {{5}}$ 

इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ${{11}}\sqrt {{5}}$ वर्ग इकाई है। 

11. दिखाए की एक सदिश का कोसाइन अक्षों पर समान रूप से झुक होता है OX, OY, OZ कर रहे है ${{(}}\dfrac{1}{{\sqrt 3 }},\;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }},\;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }})$

उत्तर: आइए a वेक्टर कुल्हाड़ियों के समान रूप से झुक हुआ हो OX, OY, OZ कोण पर ${{\alpha }}$

फिर वेक्टर की दिशा कोसाइन है ${{cos\alpha  , cos\alpha  , cos\alpha }}$

अभी 

${{Co}}{{{s}}^{{2}}}{{\alpha  + Co}}{{{s}}^{{2}}}{{\alpha  + Co}}{{{s}}^{{2}}}{{\alpha   =  1}}$

${{3Co}}{{{s}}^{{2}}}{{\alpha   =  1}}$

${{Cos\alpha   =  (1/}}\sqrt {{3}} {{)}}$ 

इसलिए वेक्टर की दिशा कोसाइन जो कुल्हाड़ियों के लिए समान रूप से झुकी हुई है ${{(}}\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}),\;(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}),\;(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }})$

12. ${{a  = }}\;{{i + 4j + 2k , b  =  3i - 2j + 7k ,}}\;{{c}}\;{{ = }}\,{{2i - j + 4k}}$ एक वेक्टर डी खोजे जो a और b दोनों के लिए लम्बवत है और ${{c}}{{. d  =  15}}$

उत्तर: चलो ${{d  =  }}{{{d}}_1}{{i + }}{{{d}}_2}{{j + }}{{{d}}_3}{{k}}$

चूंकि d, a और b दोनों के लिए लम्बवत है, हमारे पास है 

${{d}}{{.a  =  0}}$

${{{d}}_1}{{ + 4}}{{{d}}_2}{{ + 2}}{{{d}}_3}{{  =  0}}$ ........(i)

तथा ${{d}}{{.b  =  0}}$

${{3}}{{{d}}_1}{{ - 2}}{{{d}}_2}{{ + 7}}{{{d}}_3}{{  =  0}}$ ........(ii)

इसके अलावा यह दिया गया है की ${{c}}{{.d  =  14}}$

${{2}}{{{d}}_1}{{ - }}{{{d}}_2}{{ + 4}}{{{d}}_3}{{  =  15}}$ ........(iii)

हल करने पर (i), (ii), (iii) हमे मिलता है 

${{{d}}_1}{{  =  \dfrac{160}{3} , }}{{{d}}_2}{{  =  \dfrac{-5}{3} , }}{{{d}}_3}{{  =  \dfrac{-70}{3}}}$

${{d  =  (\dfrac{160}{3})i - (\dfrac{5}{3})j - (\dfrac{70}{3})}}$

${{ =  (\dfrac{1}{3})(160i - 5j - 70k)}}$ 

इसलिए आवश्यक वेक्टर है  ${{(\dfrac{1}{3})(160i - 5j - 70k)}}$

13. वेक्टर ${{2i + 4j - 5k , \lambda i + 2j + 3k}}$ के योग के साथ एक वेक्टर के साथ वेक्टर ${{i  + j  + k}}$ का स्केलर उत्पाद एक के बराबर है। ${{\lambda }}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: $(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})+(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$

$=(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$

इसलिए यूनिट वेक्टर साथ$(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})+(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ दिया है : $\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{4+4 \lambda+\lambda^{2}+36+4}}=\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$

का स्केलर उत्पाद $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ इस इकाई के साथ वेक्टर एक है। 

$\Rightarrow(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot \dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}=1$

$\Rightarrow \dfrac{(2+\lambda)+6-2}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}=1$

$\Rightarrow \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}=\lambda+6$

$\Rightarrow \lambda^{2}+4 \lambda+44=(\lambda+6)^{2}$

$\Rightarrow \lambda^{2}+4 \lambda+44=\lambda^{2}+12 \lambda+36$

$\Rightarrow 8 \lambda=8$

$\Rightarrow \lambda=1$

$\lambda$ =1 .

इसलिए ${{\lambda }}$ का मान ${{1}}$ है। 

14. यदि a, b, c समान रूप से परिणाम के लम्बवत वेक्टर है तो दिखते है की वेक्टर ${{a + b + c}}$ समान रूप से a, b, c के समान है। 

उत्तर: जबसे a, b, c परस्पर लम्बवत वेक्टर है हमारे पास है 

${{a}}{{.b  =  b}}{{.c  =  c}}{{.a  =  0}}$

यह दिया जाता है कि:

${{|a|  =  |b|  =  |c|}}$

आइए वेक्टर को ${{a + b + c}}$ के कोणों पर a, b, c के रूप मे झुकाए ${{{\theta }}_1}{{, }}{{{\theta }}_2}{{, }}{{{\theta }}_3}$ क्रमश: 

तो हमारे पास है: 

${{Cos }}{{{\theta }}_1}{{  =  \dfrac{((a + b + c) \times a)}{(|a + b + c| |a|)}  =  }}$$\dfrac{(a \times a + b \times a + c.a)}{|a + b + c| |a|}$${{ =  \dfrac{|a|}{(|a + b + c|)}}}$

${{Cos }}{{{\theta }}_{{2}}}{{  =  \dfrac{((a + b + c) \times b)}{(|a + b + c| |b|)}  =  \dfrac{(a \times b + b \times b + c \times b)}{|a + b + c| |b| } = \dfrac{|b|}{(|a + b + c|}}}$

${{Cos}}{{{\theta }}_3}{{  =  \dfrac{((a + b + c) \times c)}{(|a + b + c| |c|) } =  }}$${{\dfrac{(a \times c + b \times c + c \times c)}{|a + b + c| |c|}}}$ = ${{\dfrac{|c|}{(|a + b + c|)}}}$

अभी ${{|a|  =  |b|  =  |c| , Cos}}{{{\theta }}_1}{{  =  Cos}}{{{\theta }}_2}{{  =  Cos}}{{{\theta }}_3}$

${{{\theta }}_1}{{  =  }}{{{\theta }}_2}{{  =  }}{{{\theta }}_3}$

इसलिए वेक्टर ${{a + b + c}}$ समान रूप से ${{a , b , c}}$ के लिए झुक है।  

15. सिद्ध कीजिए की ${{(a + b) \times (a + b)  =  |a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + |b}}{{{|}}^{{2}}}$ इफफ यदि a, b लम्बवत है तो ${{a}} \ne {{0 , b}} \ne {{0}}$

उत्तर:   ${{(a + b) \times (a + b)  =  |a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + |b}}{{{|}}^{{2}}}$

${{a \times a + a \times b + b \times a + b \times b  =  |a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + |b}}{{{|}}^{{2}}}$

${{|a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + 2a \times b + |b}}{{{|}}^{{2}}}{{  =  |a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + |b}}{{{|}}^{{2}}}$

${{2a \times b  =  0}}$

${{a \times b  =  0}}$ 

${{a , b}}$ लम्बवत है। 

16. यदि ${{\theta }}$ दो वेक्टर a और b के बीच का कोण है तो ${{a,b}} \geqslant 0$ केवल जब 

(a) ${{0 < \theta  < (\pi /2)}}$

(b) ${{0}} \leqslant {{\theta }} \leqslant {{(\pi /2)}}$

(c) ${{0 < \theta  < \pi }}$

(d) ${{0}} \leqslant {{\theta }} \leqslant {{\pi }}$

उत्तर: बता दे की ${{\theta }}$ दो वेक्टर के बीच का कोण है a तथा b

फिर, सामान्यता के नुकसान के बिना a, b गैर शून्य वेक्टर है ताकि ${{|a| , |b|}}$ सकारात्मक है 

यह जाना जाता है कि ${{a \times b  =  |a| |b| cos\theta }}$

${{a \times b}} \geqslant {{0}}$

${{|a| |b| cos\theta }} \geqslant {{0}}$

${{cos\theta }} \geqslant {{0}}$

${{0}} \leqslant {{\theta }} \leqslant {{(\pi /2)}}$ 

इसलिए ${{a \times b}} \geqslant {{0}}$ कब ${{0}} \leqslant {{\theta }} \leqslant {{(\pi /2)}}$

अतः सही विकल्प (b) है। 

17. बता दे की a और b फ़ो यूनिट वेक्टर है और ${{\theta }}$ उनके बीच का कोण है तो ${{a  + b}}$ एक इकाई वेक्टर है अगर 

(a) ${{\theta   =  (\dfrac{\pi} {4})}}$

(b) ${{\theta   =  (\dfrac{\pi} {3})}}$

(c) ${{\theta   =  (\dfrac{\pi} {2})}}$

(d) ${{\theta   =  (\dfrac{2\pi} {3})}}$

उत्तर: बता दे की a और b फ़ो यूनिट वेक्टर है और ${{\theta }}$ उनके बीच का कोण है

फिर ${{|a|  =  |b|  =  1}}$

अब ${{|a + b|}}$ एक इकाई वेक्टर है यदि ${{|a + b|  =  1}}$

${{|a + b|  =  1}}$

${{{(a + b)}}^{{2}}}{{  =  1}}$

${{(a + b) \times (a + b)  =  1}}$

${{a \times a + a \times b + b \times a + b \times b  =  1}}$

${{|a}}{{{|}}^{{2}}}{{ + 2a \times b + |b}}{{{|}}^{{2}}}{{  =  1}}$

${{{1}}^{{2}}}{{ + 2|a| |b}}\mid {{cos\theta  + }}{{{1}}^{{2}}}{{  =  1}}$

${{1 + 2}}{{.1}}{{.1cos\theta  + 1  =  1}}$

${{cos\theta   =  ( \dfrac{- 1}{2})}}$

${{\theta   =  (\dfrac{2\pi} {3})}}$ 

इसलिए ${{a + b}}$ एक इकाई वेक्टर है यदि ${{\theta   =  (\dfrac{2\pi} {3})}}$

अतः सही विकल्प (d) है। 

18. ${{i(j \times k) + j}}{{.(i \times k) + k \times (i \times j)}}$ का मान है। 

(a) ${{0}}$

(b) ${{ - 1}}$

(c) ${{1}}$

(d) ${{3}}$

उत्तर: ${{i(j \times k) + j}}{{.(i \times k) + k \times (i \times j)}}$

${{ = }}\;{{i}}{{.i + j( - j) + k}}{{.k}}$

${{ =  1 - j}}{{.j + 1}}$

${{ =  1 - 1 + 1}}$

${{ =  1 }}$ 

अतः सही विकल्प (c) है। 

19. यदि ${{\theta }}$ किसी भी दो वेक्टर a और b के बीच का कोण है तो ${{|a|}}{{|b|  =  |a \times b}}\mid $ जब ${{\theta }}$ के बराबर है। 

(a) ${{0}}$

(b) ${{(\dfrac{\pi} {4})}}$

(c) ${{(\dfrac{\pi} {2})}}$

(d) ${{\pi }}$

उत्तर: बता दे कि ${{\theta }}$ दो वेक्टर a और b के बीच का कोण है। 

फिर, सामान्यता के नुकसान के बिना a, b गैर शून्य वेक्टर है 

इसलिए ${{|a}}\mid  , {{|b|}}$ सकारात्मक है 

${{|a \times b|  =  |a \times b|}}$

${{|a| |b| cos\theta   =  |a| |b| sin\theta }}$

${{Cos\theta   =  Sin\theta }}$

${{Tan\theta   =  1}}$

${{\theta   =  (\dfrac{\pi} {4})}}$ 

इसलिए $\mid {{a}}{{b|  =  |a \times b}}\mid$ जब ${{(\dfrac{\pi} {4})}}$ के बराबर हो। 

अतः सही विकल्प (b) है।  

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