NCERT Solutions For Class 11 Physics Chapter 13 Kinetic Theory in Hindi - 2025-26

1. ऑक्सीजन के अणुओं के आयतन और $STP$ पर इनके द्वारा घेरे गए कुल आयतन का अनुपात ज्ञात कीजिए। ऑक्सीजन के एक अणु का व्यास $\mathrm{3\overset{o}{A}}$ लीजिए।

उत्तर:

आवोगाद्रो की परिकल्पना के अनुसार $STP$ पर गैस के 1 मोल द्वारा घेरा गया आयतन

\[V = 22.4\] लीटर \[ = {\text{ }}22. \times {10^{ - 3}}\]मी3

तथा 1 ग्राम मोल में अणुओं की संख्या = आवोगाद्रो संख्या

\[N = 6.02 \times {10^{23}}\] ऑक्सीजन के एक अणु की त्रिज्या

r = व्यास/2 = \[\mathrm{3\overset{o}{A}}/2 = {\text{ }}1.5 \times {10^{ - 10}}\]मी

∴ ऑक्सीजन के एक अणु का आयतन

\[ = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3} \times 3.14 \times {\left( {1.5 \times {{10}^{ - 10}}{\text{ m}}} \right)^3}\]

\[ = {10^{ - 30}}(4 \times 3.14 \times 3.375)/3{m^3}\]

\[ = 14.13 \times {10^{ - 30}}\]मी

\[N = 6.02 \times {10^{23}}\]

ऑक्सीजन अनुओ द्वारा घेरा गया आयतन 

\[{V^\prime } = N \times 1\]अणु का आयतन 

\[V = 6.02 \times {10^{23}} \times 14.23 \times {10^{ - 30}}\]मी3

\[ = 8.506 \times {10^{ - 6}}\] मी3

\[\therefore \,\,\,\quad \dfrac{{{V^\prime }}}{V} = \dfrac{{8.506 \times {{10}^{ - 3}}{\text{ L}}}}{{22.4{\text{ L }}}} = 3.8 \times {10^{ - 4}}\]

\[ \approx 4 \times {10^{ - 4}}\]

2. मोलर आयतन, $STP$ पर किसी गैस (आदर्श) के 1 मोल द्वारा घेरा गया आयतन है। (STP:1 atm दाब, 0°C ताप)। दर्शाइए कि यह \[{\mathbf{22}}.{\mathbf{4}}\] \[\;\; = \dfrac{\mu }{R}\] लीटर है।

उत्तर:

\[S.T.P\]. का अर्थ \[P{\text{ }} = {\text{ }}1\]वायुमण्डलीय दाब \[ = {\text{ }}1.013 \times {10^5}\]न्यूटन-मीटर-2

तथा \[T = 0 + 273 = 273{\text{ }}K\] है तथा \[R{\text{ }} = {\text{ }}8.31\]जूल/मोल-K

∴ (1 मोल के लिए) आदर्श गैस समीकरण \[PV = RT\] से 

∴ मोलर आयतन \[V = \dfrac{{RT}}{P}\]=\[ = \dfrac{{8.31{\text{ J}}/MOL - {\text{K}} \times 273\;{\text{K}}}}{{1.013 \times {{10}^5}{\text{N - }}{{\text{M}}^{\text{3}}}{\text{ }}}}\]

= \[22.395 \times {10^{ - 3}}\] मी-3 \[ \approx {\text{ }}22.4\]लीटर

3. चित्र में ऑक्सीजन के \[{\mathbf{100}} \times {\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{3}}}}{\mathbf{kg}}\] द्रव्यमान के लिए \[{\mathbf{PV}}/{\mathbf{T}}\] एवं \[{\mathbf{P}}\] में, दो अलग-अलग तापों पर ग्राफ दर्शाए गए हैं।  

(a). बिन्दुकित रेखा क्या दर्शाती है?

उत्तर-

बिन्दुकित रेखा यह दर्शाती है, कि राशि \[\dfrac{{PV}}{T}\] नियत है। यह तथ्य केवल आदर्श गैस के लिए सत्य है; अतः बिन्दुकित रेखा आदर्श गैस का ग्राफ है।

(b). क्या संत्य है : \[{\mathbf{T1}} > {\mathbf{T2}}\] अथवा \[{\mathbf{T1}}{\text{ }} < {\text{ }}{\mathbf{T2}}\]?

उत्तर-

हम देख सकते हैं कि ताप \[{\mathbf{T2}}\] पर ग्राफ की तुलना में ताप \[{\mathbf{T1}}\]पर गैस का ग्राफ आदर्श गैस के ग्राफ के अधिक समीप है अर्थात् ताप \[{\mathbf{T2}}\] पर ऑक्सीजन गैस का आदर्श गैस के व्यवहार से विचलन अधिक है।

हम जानते हैं कि वास्तविक गैसें निम्न ताप पर आदर्श गैस के व्यवहार से अधिक विचलित होती है।

अतः \[{\mathbf{T1}} > {\mathbf{T2}}\]

(c). y-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं \[\dfrac{{PV}}{T}\] वहाँ का मान क्या है?

उत्तर-

 जिस बिन्दु पर ग्राफ y-अक्ष पर मिलते हैं ठीक उसी बिन्दु से आदर्श गैस का ग्राफ भी गुजरता है;

अतः इस बिन्दु पर ऑक्सीजन गैस, आदर्श गैस समीकरण का पालन करेगी।

अत: \[PV{\text{ }} = {\text{ }}\mu RT\] से, \[\dfrac{{PV}}{T}\]\[\; = \dfrac{\mu }{R}\]

∵ गैस का द्रव्यमान \[m = {\text{ }}1.00 \times {10^{ - 3}}{\text{ }}kg\] जबकि गैस का ग्राम अणुभार M = 32g

\[\begin{array}{*{20}{l}} {M = 32 \times {{10}^{ - 3}}\;{\text{kg}}} \\ {\mu = \dfrac{m}{M} = \dfrac{{1.00 \times {{10}^{ - 3}}\;{\text{kg}}}}{{32 \times {{10}^{ - 3}}\;{\text{kg}}}} = \dfrac{1}{{32}}} \end{array}\,\,\]

\[\,\dfrac{{PV}}{T} = \dfrac{1}{{32}}\;{\text{mol}} \times 8.31\;{\text{J}}/{\text{molK}} = 0.26\;{\text{J}}\;{{\text{K}}^{ - 1}}\]

(d) यदि हम ऐसे ही ग्राफ \[{\mathbf{100}} \times {\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{3}}}}\] kg हाइड्रोजन के लिए बनाएँ तो भी क्या उस बिन्दु पर जहाँ वक़ y-अक्ष से मिलते हैं \[\dfrac{{PV}}{T}\] का मान यही होगा? यदि नहीं, तो हाइड्रोजन के कितने द्रव्यमान के लिए \[\dfrac{{PV}}{T}\] का मान (कम दाब और उच्च ताप के क्षेत्र के लिए वही होगा? H2 का अणु द्रव्यमान \[ = {\text{ }}{\mathbf{2}}.{\mathbf{02}}{\text{ }}{\mathbf{u}},{\text{ }}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}}\] का अणु द्रव्यमान \[ = {\mathbf{32}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{u}},{\text{ }}{\mathbf{R}} = {\text{ }}{\mathbf{8}}.{\mathbf{31}}{\text{ }}{\mathbf{J}}{\text{ }}{\mathbf{mo}}{{\mathbf{l}}^{ - {\mathbf{1}}}}{{\mathbf{K}}^{ - {\mathbf{1}}}})\]

उत्तर-

इस बिन्दु पर गैस, आदर्श गैस समीकरण का पालन करेगी; अतः\[\dfrac{{PV}}{T}\]

= µR होगा। परन्तु समान द्रव्यमान हाइड्रोजन गैस में ग्राम-अणुओं की संख्या भिन्न होगी; अत: हाइड्रोजन गैस के लिए\[\dfrac{{PV}}{T}\]का मान भिन्न होगा।

H2 गैस के लिए\[\dfrac{{PV}}{T}\]= µR का वही मान प्राप्त करने के लिए हमें ग्राम-अणुओं की संख्या वही\[\left( {\mu  = \dfrac{1}{{32}}} \right)\]लेनी होगी। 

\[\because \] हाइड्रोजन का ग्राम अणु द्रव्यमान \[M = 2.02\;{\text{g}} = 2.02 \times {10^{ - 3}}\;{\text{kg}}\]

\[\therefore \quad \] हाइड्रोजन का अभीस्ट द्रव्यमान \[m = \mu M = \dfrac{1}{{32}} \times 2.02 \times {10^{ - 3}}\;{\text{kg}}\]

\[ = 6.3 \times {10^{ - 5}}\;{\text{kg}}\]

4. एक ऑक्सीजन सिलिण्डर जिसका आयतन \[{\mathbf{30}}{\text{ }}{\mathbf{L}}\] है, में ऑक्सीजन का आरम्भिक दाब \[{\mathbf{15}}{\text{ }}{\mathbf{atm}}\] एवं ताप \[{\mathbf{27}}^\circ {\mathbf{c}}\] है। इसमें से कुछ गैस निकाल लेने के बाद प्रमापी (गेज) दाब गिरकर \[{\mathbf{11}}{\text{ }}{\mathbf{atm}}\] एवं ताप गिरकर \[{\mathbf{17}}^\circ {\mathbf{C}}\] हो जाता है। ज्ञात कीजिए कि सिलिण्डर से ऑक्सीजन की कितनी मात्रा निकाली गई है? (\[{\mathbf{R}}{\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{8}}.{\mathbf{31}}{\text{ }}{\mathbf{J}}{\text{ }}{\mathbf{mo}}{{\mathbf{l}}^{ - {\mathbf{1}}}}{{\mathbf{K}}^{ - {\mathbf{1}}}},\]ऑक्सीजन का अणु द्रव्यमान \[{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}} = {\text{ }}{\mathbf{32u}}\])

उत्तर:

\[\mu \] ग्राम मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण

\[PV{\text{ }} = {\text{ }}\mu {\text{ }}RT\] (जहाँ \[\mu {\text{ }} = {\text{ }}m/M)\]

अतः \[PV = {\text{ }}\left( {m/M} \right){\text{ }}RT\]

(जहाँ \[m\] = ग्राम में द्रव्यमान, \[M\] = ग्राम में अणुभार)

\[\therefore \quad m = \dfrac{{MPV}}{{RT}}\]

अत प्राम्भ में गैस की मात्रा

\[{m_1} = \dfrac{{M{P_1}{V_1}}}{{R{T_1}}}\]

\[ = \left[ {\dfrac{{32\left( {15 \times 1.013 \times {{10}^5}} \right)\left( {30 \times {{10}^{ - 3}}} \right)}}{{8.31 \times (27 + 273)}}} \right]\]ग्राम \[ = 585.8\]

अंत में गैस की मात्रा

\[{m_2} = \dfrac{{M{P_2}{V_2}}}{{R{T_2}}}\]

\[ = \left[ {\dfrac{{32\left( {11 \times 1.013 \times {{10}^5}} \right)\left( {30 \times {{10}^{ - 3}}} \right)}}{{8.31 \times (17 + 273)}}} \right]\] ग्राम \[ = 444.4\]

\[\therefore \] सिलेंडर से ऑक्सीजन की निकाली गयी मात्रा \[ = {m_1} - {m_2}\]

\[ = (585.8 - 444.4)\]ग्राम \[ = 141.4\]

5. वायु का एक बुलबुला, जिसका आयतन \[{\mathbf{1}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{c}}{{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}}\] है, \[{\mathbf{40}}{\text{ }}{\mathbf{m}}\] गहरी झील की तली से जहाँ ताप \[{\mathbf{12}}^\circ {\mathbf{c}}\] है, उठकर ऊपर पृष्ठ पर आता है जहाँ ताप \[{\mathbf{35}}^\circ {\mathbf{c}}\] है। अब इसका आयतन क्या होगा?

उत्तर:

दिया है : बुलबुले का आयतन \[{V_1} = 1.0{\text{ }}c{m^3} = {\text{ }}1.0{\text{ }} \times {10^{ - 6}}{m^3}{\text{ }}\]

अन्तिम आयतन \[{V_2}{\text{ }} = {\text{ }}?\]

\[{T_1} = 12 + 273 = 285\;{\text{K}}\] तथा \[{T_2} = 35 + 273 = 308\;{\text{K}}\]

जल का घनत्व \[\rho  = 1.0 \times {10^3}\;{\text{kg}}\;{{\text{m}}^{ - 3}},\quad h = 40\;{\text{m}},g = 10\;{\text{m}}\;{{\text{s}}^{ - 2}}\]

झील की तली में बुलबुले पर दाब \[{P_1} = h\rho g + \] वायुमंदलीय दाब 

\[{P_1} = 40\;{\text{m}} \times 1.0 \times {10^3}\;{\text{kg}}\;{{\text{m}}^{ - 3}} \times 10\;{\text{m}}\;{{\text{s}}^{ - 2}} + 1.01 \times {10^5}{\text{N}}{{\text{m}}^{ - 2}}\]

\[ = 4 \times {10^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}} + 1.01 \times {10^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}\]

\[ = 5.01 \times {10^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}\]

जबकि झील के ऊपर प्रस्थ पर दाब \[{P_2} = 1.01 \times {10^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}\]

\[\therefore \quad \dfrac{{{P_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{P_2}{V_2}}}{{{T_2}}}\] से 

\[{V_2} = \dfrac{{{P_1}{V_1}{T_2}}}{{{P_2}{T_1}}} = \dfrac{{5.01 \times {{10}^5}{\text{N}}{{\text{m}}^{ - 2}} \times 1.0 \times {{10}^{ - 6}}\;{{\text{m}}^3} \times 308\;{\text{K}}}}{{1.01 \times {{10}^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}} \times 285\;{\text{K}}}}\]

बुल्बुले का आयतन \[{V_2} = 5.36\;{\text{c}}{{\text{m}}^3}\] हो जाएगा. 

6. एक कमरे में, जिसकी धारिता \[{\mathbf{25}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}}\] है, \[{\mathbf{27}}^\circ {\mathbf{C}}\] ताप और \[{\mathbf{1}}{\text{ }}{\mathbf{atm}}\] दाब पर, वायु के कुल अणुओं (जिनमें नाइट्रोजन, ऑक्सीजन, जलवाष्प और अन्य सभी अवयवों के कण सम्मिलित हैं) की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है : कमरे की धारिता \[V = 25.0{\text{ }}{m^3}\], ताप \[T = 27 + 273 = 300K\],

दाब \[P = 1{\text{ }}atm = 1.01 \times 105{\text{ }}N{\text{ }}{m^{ - 2}}\]

कुल अणुओं की संख्या = ?

\[PV = \mu RT\]से, 

\[\mu  = \dfrac{{PV}}{{RT}} \pm \dfrac{{1.01 \times {{10}^5}\;{\text{N}}\;{{\text{m}}^{ - 2}} \times 25.0\;{{\text{m}}^3}}}{{8.31\;{\text{J}}/{\text{molK}} \times 300\;{\text{K}}}}\]

या     \[\mu  = 1013\] ग्राम-अणु 

\[\therefore 1\] ग्राम-अणु में \[{N_A} = 6.02 \times {10^{23}}\] अणु होते हैं.

\[\therefore \] कमरे में की कुल अनुओ की संख्या \[N = \mu {N_A} = 1013 \times 6.02 \times {10^{23}}\]

\[ = {\mathbf{6}}.{\mathbf{1}} \times {\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{{\mathbf{26}}}}\] अणु

7. हीलियम परमाणु की औसत तापीय ऊर्जा का आकलन कीजिए-

(i) कमरे के ताप \[\left( {{\mathbf{27}}^\circ {\mathbf{C}}} \right)\]पर।

उत्तर:

हीलियम एक परमाणु गैस है। अत: परमाणु की औसत तापीय ऊर्जा अणु की औसत तापीय ऊर्जा ही होगी। किसी गैस के एक अणु की औसत तापीय ऊर्जा (गतिज ऊर्जा)

\[\bar E = \dfrac{3}{2}K.T\]

जहाँ T = परमताप,

\[T = \left( {27 + 273} \right)K = 300\]

औसत उर्जा \[\bar E = \dfrac{3}{2}KT\]

\[ = \dfrac{3}{2} \times 1.38 \times {10^{ - 23}}\] जूल\[{K^{ - 1}} \times 300K\]

\[ = 6.21 \times {10^{ - 21}}\] जूल

(ii) सूर्य के पृष्ठीय ताप \[\left( {{\mathbf{6000}}{\text{ }}{\mathbf{K}}} \right)\]पर।

उत्तर

हीलियम एक परमाणु गैस है। अत: परमाणु की औसत तापीय ऊर्जा अणु की औसत तापीय ऊर्जा ही होगी। किसी गैस के एक अणु की औसत तापीय ऊर्जा (गतिज ऊर्जा)

\[\bar E = \dfrac{3}{2}K.T\]

   \[T = 6000K\]

औसत उर्जा \[\bar E = \dfrac{3}{2}KT\]

 \[ = \dfrac{3}{2} \times 1.38 \times {10^{ - 23}}\] जूल

\[{K^{ - 1}} \times 6000K\]

\[ = 1.24 \times {10^{ - 19}}\] जूल

(iii) \[\;{\mathbf{100}}\] लाख केल्विन ताप (तारे के क्रोड का प्रारूपिक ताप) पर।

उत्तर

यहाँ \[{\text{T}} = 100\], \[{\text{K}} = 100 \times {10^5}\;{\text{K}} = {10^7}\;{\text{K}}\]

\[\therefore \]   औसत उर्जा \[\bar E = \dfrac{3}{2}KT = \dfrac{3}{2} \times 1.38 \times {10^{ - 23}}\] जूल \[{{\text{K}}^{ - 1}} \times {10^7}\;{\text{K}}\]

\[ = 2.1 \times {10^{ - 16}}\] जूल

8. समान धारिता के तीन बर्तनों में एक ही ताप और दाब पर गैसे भरी हैं। पहले बर्तन में निऑन (एकपरमाणुक) गैस है, दूसरे में क्लोरीन (द्विपरमाणुक) गैस है और तीसरे में यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड (बहुपरमाणुक) गैस है। क्या तीनों बर्तनों में गैसों के संगत अणुओं की संख्या समान है? क्या तीनों प्रकरणों में अणुओं की υr.m.s (वर्ग-माध्य-मूल चाल) समान है?

उत्तर-

(i). हाँ, चूँकि आवोगाद्रो परिकल्पना के अनुसार समान परिस्थितियों में गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।

(ii). नहीं,

\[{v_{r.m.s.}} = \sqrt {\dfrac{{3RT}}{M}} \]से \[{v_{r.m.s}} \propto \dfrac{1}{{\sqrt M }}\]

तीनों गैसों के ग्राम-अणु भार अलग-अलग हैं; अतः अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल भी अलग-अलग होगी।

9. किस ताप पर ऑर्गन गैस सिलिण्डर में अणुओं की \[{\mathbf{\upsilon r}}.{\mathbf{m}}.{\mathbf{s}}, - {\mathbf{20}}^\circ {\mathbf{C}}\] पर हीलियम गैस परमाणुओं की \[{\mathbf{\upsilon r}}.{\mathbf{m}}.{\mathbf{s}}\] के बराबर होगी? (\[{\mathbf{Ar}}\] का परमाणु द्रव्यमान \[ = {\mathbf{39}}.{\mathbf{9u}}\]एवं हीलियम का परमाणु द्रव्यमान\[ = {\mathbf{4}}.{\mathbf{0u}}\])

उत्तर:

\[v_{rm\xi }^r = \sqrt {\left( {\dfrac{{3RT}}{M}} \right)} \]

\[\therefore \quad {\left( {{v_{rms}}} \right)_{{\text{Ar}}}} = \sqrt {\dfrac{{3R{T_{{\text{Ar}}}}}}{{{M_{{\text{Ar}}}}}}} {\text{ }}\quad \]

व \[{\left( {{v_{{\text{rms}}}}} \right)_{{\text{He}}}} = \sqrt {\dfrac{{3R{T_{{\text{He}}}}}}{{{M_{{\text{He}}}}}}} \]\[\mathbf{r=1.88 \ \overset{o}{A}}\] 

\[\begin{array}{*{20}{l}} {\text{ }}&{{{\left( {{v_{rms}}} \right)}_{{\text{Ar}}}}}&{ = {{\left( {{v_{rms}}} \right)}_{{\text{He}}}}} \\ \therefore &{\sqrt {\dfrac{{3R{T_{{\text{Ar}}}}}}{{{M_{{\text{Ar}}}}}}} }&{ = \sqrt {\dfrac{{3R{T_{{\text{He}}}}}}{{{M_{{\text{He}}}}}}} } \\ {\text{ }}&{\dfrac{{{T_{{\text{Ar}}}}}}{{{M_{{\text{Ar}}}}}}}&{ = \dfrac{{{T_{{\text{He}}}}}}{{{M_{{\text{He}}}}}}} \\ {\text{ }}&{{T_{{\text{Ar}}}}}&{ = \left( {\dfrac{{{M_{{\text{Ar}}}}}}{{{M_{{\text{He}}}}}}} \right) = {T_{{\text{He}}}}} \end{array}\]

\[{M_{{\text{Ar}}}}\]=39.9 ग्राम, \[{M_{{\text{He}}}}\]=4.0 ग्राम

\[\begin{gathered} {T_{{\text{He}}}} = \left( { - 20 + 273} \right)K = 253K \hfill \\ {T_{{\text{Ar}}}} = \left( {\dfrac{{39.9}}{{4.0}}} \right) \times 253 = 2.253 \times {10^3}K \hfill \\ \end{gathered} \]

10.नाइट्रोजन गैस के एक सिलिण्डर में \[,{\mathbf{2}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{atm}}\] दाब एवं \[{\mathbf{17}}^\circ {\mathbf{C}}\] ताप पर, नाइट्रोजन अणुओं के माध्य मुक्त पथ एवं संघट्ट आवृत्ति का आकलन कीजिए। नाइट्रोजन अणु की त्रिज्या लगभग \[ 10 \overset{o}{A}\] लीजिए। संघट्ट-काल की तुलना अणुओं द्वारा दो संघट्टों के बीच स्वतन्त्रतापूर्वक चलने में लगे समय से कीजिए। (नाइट्रोजन का आणविक द्रव्यमान\[ = {\mathbf{28}}.{\mathbf{0u}}\])

उत्तर:

\[P = 2.0\], वायुमण्डलीय \[ = {\text{ }}2 \times 1.013 \times {10^5} = {\text{ }}2.026 \times {10^5}\] न्यूटन मीटर-2,

\[T = 17^\circ C = 17 + 273 = 290{\text{ }}K\]

1 मोल गैस के लिए \[PV = RT\]

\[\therefore \quad V = \dfrac{{RI}}{P} = \dfrac{{8.31 \times 290}}{{2.026 \times {{10}^5}}} = 1.189 \times {10^{ - 2}}\]मी—3

प्रति एकांक आयतन में अणुओं की संख्या, \[n = \dfrac{N}{V}\] 

\[ = \dfrac{{6.023 \times {{10}^{23}}}}{{1.189 \times {{10}^{ - 2}}}} = 5.0 \times {10^{25}}\]  मी—3

माध्य मुक्त पथ, \[\quad \lambda  = \dfrac{1}{{\sqrt 2 \pi {d^2}n}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 \pi {{(2r)}^2}n}}\]

\[ = \dfrac{1}{{1.414 \times 3.14 \times {{\left( {2.0 \times {{10}^{ - 10}}} \right)}^2} \times 5.0 \times {{10}^{25}}}}\]

\[ = 1.0 \times {10^{ - 7}}{\text{ }}\]

\[{\text{ }}{v_{rms}} = \sqrt {\dfrac{{3RT}}{M}} n = \sqrt {\dfrac{{3 \times 8.31 \times 290}}{{28 \times {{10}^{ - 3}}}}}  = 5.1 \times {10^2}\]

संघट्ट आवृति, \[{\text{  }}n = \dfrac{{{w_{rms}}}}{\lambda } = \dfrac{{5.1 \times {{10}^2}}}{{1.0 \times {{10}^{ - 3}}}} = 5.1 \times {10^9}\]सेकंड -1

संघट्ट काल \[ = \dfrac{d}{{{\upsilon _{rms}}}} = \dfrac{{2.0 \times {{10}^{ - 10}}}}{{5.0 \times {{10}^2}}} = 4 \times {10^{ - 13}}\] सेकंड -1

दो क्रमागत संघट्तों के बीच लगा समय

\[ = \dfrac{\lambda }{{{\upsilon _{rms}}}} = \dfrac{{1.0 \times {{10}^{ - 7}}}}{{5.1 \times {{10}^2}}} = 2 \times {10^{ - 10}}\] सेकंड

11. 1 मीटर लम्बी संकरी (और एक सिरे पर बन्द) नली क्षैतिज रखी गई है। इसमें \[{\mathbf{76}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] लम्बाई भरा पारद सूत्र, वायु के \[{\mathbf{15}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] स्तम्भ को नली में रोककर रखता है। क्या होगा यदि खुला सिरा नीचे की ओर रखते हुए नली को ऊर्ध्वाधर कर दिया जाए?

उत्तर:

प्रारम्भ में जब नली क्षैतिज है, तब बन्द सिरे पर रोकी गई वायु का दाब वायुमण्डलीय दाब के बराबर होगा क्योंकि यह वायु, वायुमण्डलीय दाब के विरुद्ध पारे के स्तम्भ को पीछे हटने से रोकती है।

\[\therefore {\text{ }}P1 = \]वायुमण्डलीय दाब

\[ = 76\]सेमी पारद स्तम्भ का दाब

यदि नली का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A सेमी² है तो वायु का आयतन \[V_1^{}{\text{ }} = {\text{ }}15\] सेमी X \[A\] सेमी² = \[15A\]सेमी3 । जब नली का खुला सिरा नीचे की ओर रखते हुए ऊध्र्वाधर करते हैं तो खुले सिरे पर बाहर की ओर से वायुमण्डलीय दाब (76 सेमी पारद स्तम्भ का दाब) काम करता है जब कि ऊपर की ओर से 76 सेमी पारद सूत्र का दाब तथा बन्द सिरे पर एकत्र वायु की दाब काम करते हैं। चूँकि खुले सिरे पर पारद स्तम्भ + वायु का दाब अधिक है अतः पारद स्तम्भ सन्तुलन में नहीं रह पाता और नीचे गिरते हुए, वायु को बाहर निकाल देता है।

माना पारद स्तम्भ की h लम्बाई नली से बाहर निकल जाती है।

तब, पारद स्तम्भ की शेष ऊँचाई \[ = {\text{ }}\left( {76{\text{ }}--{\text{ }}h} \right)\]

सेमी जबकि बन्द सिरे पर वायु स्तम्भ की लम्बाई \[ = {\text{ }}\left( {15{\text{ }} + {\text{ }}9{\text{ }} + {\text{ }}h} \right)\] सेमी

\[ = {\text{ }}\left( {24{\text{ }} + {\text{ }}h} \right)\]सेमी

वायु का आयतन \[V2{\text{ }} = {\text{ }}\left( {24{\text{ }} + {\text{ }}h} \right)\]A सेमी3

माना अब इस वायु का दाब\[\;\;\;P{2_{}}\] है तो संतुलन की स्तिथि में 

\[{P_2} + \left( {76 - h} \right)\] सेमी. पारद स्तम्भ का दाब = वायुमंडलीय दाब

\[ = 76\] सेमी.

\[{P_2} = h\] सेमी.पारद का स्तम्भ का दाब 

\[{P_1}{V_1} = {P_2}{V_2}\] से,

\[76\,\,\,\]सेमी. \[ \times \]\[15\]\[A\] सेमी.3 = \[h\] सेमी \[ \times \left( {24 \times h} \right)\,\,\]सेमी3

\[1140 = 24h + {h^2}\]

\[{h^2} + 24h - 1140 = 0\]

\[\begin{gathered} \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \\ h&{ = \left[ {\dfrac{{ - 24 \pm \sqrt {{{(24)}^2} - 4 \times 1 \times ( - 1140)} }}{{2 \times 1}}} \right.} \end{array}} \right] \hfill \\ = \left( {\dfrac{{ - 24 \pm 71.67}}{2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

अतः \[h = 23.8\]सेमी अथवा \[--{\text{ }}47.8\]सेमी (जो अनुमान्य है।)

इसलिए \[h = 23.8\]सेमी \[ \approx {\text{ }}24\]सेमी ।

अतः लगभग 24 सेमी पारा बाहर निकल जायेगा। शेष पारे का 52 सेमी ऊँचा स्तम्भ तथा 4.8 सेमी वायु स्तम्भ इसमें जुड़कर बाह्य वायुमण्डल के साथ संतुलन में रहते हैं। (यहाँ पूरे प्रयोग की अवधि में ताप को नियत माना गया है तब ही बॉयल के नियम का प्रयोग किया है।

12. किसी उपकरण से हाइड्रोजन गैस \[{\mathbf{28}}:{\mathbf{7}}\]सेमी3/से की दर से विसरित हो रही है। उन्हींस्थितियों में कोई दूसरी गैस \[{\mathbf{7}}.{\mathbf{2}}\]सेमी3/से की दर से विसरित होती है। इस दूसरी गैस को पहचानिए।

(संकेत-ग्राहम के विसरण नियम \[{\mathbf{R1}}/{\mathbf{R2}}{\text{ }} = {\text{ }}\left( {{\mathbf{M_2}}{\text{ }}/{\mathbf{M_1}}} \right){\mathbf{1}}/{\mathbf{2}}\]का उपयोग कीजिए, यहाँ $R_1, R_2$ क्रमशः गैसों की विसरण दर तथा \[ M_1\] एवं \[ M_2\] उनके आणविक द्रव्यमान हैं। यह नियम अणुगति सिद्धान्त का एक सरल परिणाम है।)

उत्तर:

किसी गैस के विसरण की दर । गैस अणुओं के वर्ग माध्य मूल वेग के अनुक्रमानुपाती होती है अर्थात्

\[\,r \propto {v_{rms}}\] परन्तु \[{v_{rms}} \propto 1/\sqrt M \]( जहाँ \[M\]= गैस का अणुभार)

\[\therefore \,\,\,\,\,\,r \propto \dfrac{1}{{\sqrt M }}\]

\[ \Rightarrow {\text{ }}\dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{M_2}}}{{{M_1}}}} \]

\[ \Rightarrow {M_2}{\text{ }} = {\left( {\dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}} \right)^2} \times M\]

यहाँ \[{{\text{H}}_2}\] के लिए \[{r_1} = 28.7\]सेमी3/से तथा \[{M_1} = 2\]

दूसरी गैस के लिए \[{r_2} = 7.2\] सेमी3/से तथा \[{M_2} = ?\]

\[\therefore \quad {M_2} = {\left( {\dfrac{{28.7}}{{7.2}}} \right)^2} \times 2 \approx 32\]

अतः दूसरी गैस ऑक्सीजन है। (चूंकि ऑक्सीजन का अणुभार \[32\]होता है।)

13. साम्यावस्था में किसी गैस का घनत्व और दाब अपने सम्पूर्ण आयतन में एकसमान हैं। यह पूर्णतया सत्य केवल तभी है जब कोई भी बाह्य प्रभाव न हो। उदाहरण के लिए गुरुत्व से प्रभावित किसी गैस स्तम्भ का घनत्व (और दाब) एकसमान नहीं होता है। जैसा कि आप आशा करेंगे इसका घनत्व ऊँचाई के साथ घटता है। परिशुद्ध निर्भरता ‘वातावरण के नियम 

\[{\text{ }}{{\text{n}}_{\text{2}}}{\text{ = }}{{\text{n}}_{\text{1}}}\exp \left[ {{\text{ - }}\dfrac{{{\text{mg}}}}{{{{\text{K}}_{\text{B}}}{\text{T}}}}\left( {{{\text{h}}_{\text{2}}}{\text{ - }}{{\text{h}}_{\text{1}}}} \right)} \right]\]

से दी जाती है, यहाँ n2, n1 क्रमशः h2 व h1 ऊँचाइयों पर संख्यात्मक घनत्व को प्रदर्शित करते हैं। इस सम्बन्ध का उपयोग द्रव-स्तम्भ में निलम्बित किसी कण के अवसादने साम्य के लिए समीकरण

\[{{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}} = {{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}}\exp \left[ { - \dfrac{{{\mathbf{mg}}{{\mathbf{N}}_{\mathbf{A}}}}}{{\rho {\mathbf{RT}}}}\left( {\rho  - {\rho ^\prime }} \right)\left( {{{\mathbf{h}}_{\mathbf{2}}} - {{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}}} \right)} \right]\]

को व्युत्पन्न करने के लिए कीजिए, यहाँ ρ निलम्बित कण का घनत्व तथा ρ’ चारों तरफ के माध्यम का घनत्व है। NA आवोगाव्रो संख्या तथा R सार्वत्रिक गैस नियतांक है। (संकेतः निलम्बित कण के आभासी भार को जानने के लिए आर्किमिडीज के सिद्धान्त का उपयोग कीजिए)

उत्तर-

वातावरण के नियम के अनुसार,

\[{n_2} = {n_1}\exp \left[ { - \dfrac{{mg}}{{{K_B}T}}\left( {{h_2} - {h_1}} \right)} \right]\]

जबकि m द्रव्यमान का कण वायु में साम्यावस्था में तैर रहा है। यदि कण ρ’ वाले किसी द्रव में छोड़ा गया है तो इस कण पर द्रव के कारण उत्क्षेप भी कार्य करेगा। ऐसी स्थिति में हमें उक्त सूत्र में mg के स्थान पर कण का आभासी भार रखना होगा।

माना कण का आयतन \[V\] तथा घनत्व \[\rho \] है तब \[l\]

कण का आभासी भार \[ = mg--\]उत्क्षेप

\[\begin{array}{*{20}{l}} { = V\rho g - V{\rho ^\prime }g} \\ { = Vg\left( {\rho - {\rho ^\prime }} \right) = Vg\rho \left( {1 - \dfrac{{{\rho ^\prime }}}{\rho }} \right)} \\ { = mg\left( {1 - \dfrac{{{\rho ^\prime }}}{\rho }} \right) = \dfrac{{mg\left( {\rho - {\rho ^\prime }} \right)}}{\rho }} \end{array}\]

समीकरण(1) में \[{\text{mg}}\] के स्थान पर \[\dfrac{{mg\left( {\rho  - {\rho ^\prime }} \right)}}{\rho }\]तथा \[{K_B}\] के स्थान पर \[\dfrac{R}{{{N_A}}}\] रखने पर,

\[{n_2} = {n_1}\exp \left[ { - \dfrac{{mg{N_A}}}{{\rho RT}}\left( {\rho  - {\rho ^\prime }} \right)\left( {{h_2} - {h_1}} \right)} \right]\]

14. नीचे कुछ ठोसों व द्रवों के घनत्व दिए गए हैं। उनके परमाणुओं की आमापों का आकलन (लगभग) कीजिए।

(संकेतः मान लीजिए कि परमाणु ठोस अथवा द्रव प्रावस्था में दृढ़ता से बँधे हैं, तथा आवोगाव्रो संख्या के ज्ञात मान का उपयोग कीजिए। फिर भी आपको विभिन्न परमाणवीय आकारों के लिए अपने द्वारा प्राप्त वास्तविक संख्याओं का बिल्कुल अक्षरशः प्रयोग नहीं करना चाहिए क्योंकि दृढ़ संवेष्टन सन्निकटन की रूक्षता के परमाणवीय आकार कुछ \[\mathbf{ \ \overset{o}{A}}\] के पास में हैं )

उत्तर: 

यदि परमाणु की त्रिज्या r है तो प्रत्येक परमाणु का आयतन \[ = \dfrac{4}{3}\pi {r^2}\]

\[\therefore \] एक परमाणु का द्रव्यमान \[m = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\rho \]

यदि पदार्थ का परमाणु द्रव्यमान \[M\]ग्राम हो तो 

इसमें परमाणुओं की संख्या=अवोगाद्रो संख्या 

\[ = N = 6.02 \times {10^{23}}\]

\[\therefore \] एक परमाणु का द्रव्यमान \[m = \left( {\dfrac{M}{N}} \right)\] ग्राम 

अत समीकरण (1) व समीकरण (2) से,

\[\because \quad \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\rho  = \dfrac{M}{N} \Rightarrow r = {\left[ {\dfrac{{3M}}{{4\pi \rho N}}} \right]^{1/3}}\]

कार्बन के लिए \[M = 12.01\]ग्राम \[ = 12.01 \times {10^{ - 3}}\] किग्रा.

\[\rho  = 2.22 \times {10^3}\]किग्रा.-मी.-3

\[\therefore \quad r = {\left[ {\dfrac{{3 \times 12.01 \times {{10}^{ - 3}}}}{{4 \times 3.14 \times 2.22 \times {{10}^3} \times 6.023 \times {{10}^{23}}}}} \right]^{1/3}}{\text{ }}\]

\[ = 1.29 \times {10^{ - 10}}\]मी. \[ \mathbf{ \ \overset{o}{A}}\]

इसी प्रकार अन्य पदार्थों के लिए गणना करने पर

गोल्ड के लिए \[{\mathbf{r}} = {\mathbf{1}}.{\mathbf{59A}}\], द्रव नाइट्रोजन के लिए r = 1.77 \[ \mathbf{ \ \overset{o}{A}}\], लिथियम के लिए \[\mathbf{r=1.73 \ \overset{o}{A}}\],

द्रव फ्लुओरीन के लिए \[\mathbf{r=1.88 \ \overset{o}{A}}\]

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